形状関数の微分

形状関数の面積座標

に関する微分 $\frac{ \partial N }{ \partial L0 } _{(In)}$ を面積座標系

で表現すると、

$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L0 } _{(0)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4 L0 - 1$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L0 } _{(1)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L0 } _{(2)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L0 } _{(3)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4 L1$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L0 } _{(4)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L0 } _{(5)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4 L2$	(2.24)

面積座標

に関する微分 $\frac{ \partial N }{ \partial L1 } _{(In)}$ については、

$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L1 } _{(0)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L1 } _{(1)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4 L1 - 1$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L1 } _{(2)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L1 } _{(3)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4 L0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L1 } _{(4)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4 L2$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L1 } _{(5)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$	(2.25)

面積座標

に関する微分 $\frac{ \partial N }{ \partial L2 } _{(In)}$ については、

$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L1 } _{(0)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L1 } _{(1)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L1 } _{(2)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4 L2 - 1$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L1 } _{(3)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L1 } _{(4)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4 L1$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial L1 } _{(5)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4 L0$	(2.26)

したがって、形状関数の自然座標 $\{ \xi \}$ に関する微分 $\frac{ \partial N }{ \partial \{ \xi \} } _{(In)}$ は、式 2.11 より、

$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial \xi } _{(0)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 1 - 4 L0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial \xi } _{(1)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4 L1 - 1$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial \xi } _{(2)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial \xi } _{(3)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4 (L0 - L1)$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial \xi } _{(4)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4 L2$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial \xi } _{(5)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle -4 L2$	(2.27)

$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial \eta } _{(0)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 1 - 4 L0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial \eta } _{(1)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial \eta } _{(2)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4 L2 - 1$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial \eta } _{(3)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle -4 L1$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial \eta } _{(4)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4 L1$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial \eta } _{(5)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4 (L0 - L2)$	(2.28)