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積分点ごとの自然座標と重み係数

以下は、各次数、各積分点についての自然座標と重み係数をまとめたものである。

n ID $L0$ $L1$ $L2$ $w$
1 0 1/3 1/3 1/3 1
2 0 0 1/2 1/2 1/3
  1 1/2 0 1/2 1/3
  2 1/2 1/2 0 1/3
3 0 1/3 1/3 1/3 -27/48
  1 11/15 2/15 2/15 25/48
  2 2/15 11/15 2/15 25/48
  3 2/15 2/15 11/15 25/48
4 0 $1-2a_4$ $a_4$ $a_4$ $b_4$
  1 $a_4$ $1-2a_4$ $a_4$ $b_4$
  2 $a_4$ $a_4$ $1-2a_4$ $b_4$
  3 $1-2c_4$ $c_4$ $c_4$ $d_4$
  4 $c_4$ $1-2c_4$ $c_4$ $d_4$
  5 $c_4$ $c_4$ $1-2c_4$ $d_4$
5 0 1/3 1/3 1/3 9/40
  1 $1-2a_5$ $a_5$ $a_5$ $b_5$
  2 $a_5$ $1-2a_5$ $a_5$ $b_5$
  3 $a_5$ $a_5$ $1-2a_5$ $b_5$
  4 $1-2c_5$ $c_5$ $c_5$ $d_5$
  5 $c_5$ $1-2c_5$ $c_5$ $d_5$
  6 $c_5$ $c_5$ $1-2c_5$ $d_5$

ここで、 nは次数、 IDは積分点番号、 $L0$、$L1$、$L2$ は面積座標、 $w$ は重み係数である。 また、 定数 $a_4$、 $b_4$、 $c_4$、 $d_4$、 $a_5$、 $b_5$、 $c_5$、 $d_5$ は以下の通りである。


$\displaystyle a_4$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0.445948490915965$  
$\displaystyle b_4$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0.111690794839005 * 2$  
$\displaystyle c_4$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0.091576213509771$  
$\displaystyle d_4$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0.054975871827661 * 2$  
$\displaystyle a_5$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0.470142064105115$  
$\displaystyle b_5$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0.0661970763942530 * 2$  
$\displaystyle c_5$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0.101286507323456$  
$\displaystyle d_5$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0.0629695902724135 * 2$ (3.7)

なお、面積座標 $L0$、$L1$、$L2$ と 自然座標 $\xi$、$\eta$ との関係は以下の通りである。


$\displaystyle L0$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1 - \xi - \eta$  
$\displaystyle L1$ $\textstyle =$ $\displaystyle \xi$  
$\displaystyle L2$ $\textstyle =$ $\displaystyle \eta$ (3.8)

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Hiroshi KAWAI 平成15年8月11日