積分

ある四辺形領域 $-1.0 \le \xi \le 1.0$ 、 $-1.0 \le \eta \le 1.0$ における 関数 $f$ について、

$$f = f ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$ (3.9)

その積分は、

$$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 f \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta$$

$$= \sum_{Ip^\xi} \sum_{Ip^\eta} w_{(Ip^\xi)} w_{(Ip^\eta)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip^\xi Ip^\eta)} ) \! )$$ (3.10)

ここで、 $\{ \xi \} _{(Ip^\xi Ip^\eta)}$ は、 各次元方向の積分点 $Ip^\xi, Ip^\eta$ の自然座標であり、

$$\{ \xi \} _{(Ip^\xi Ip^\eta)} = { \left \langle \begin{array}{cc} \xi_{(Ip^\xi)} & \eta_{(Ip^\eta)} \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$ (3.11)

$\xi_{(Ip^\xi)}$ は一次元線分の $\xi$ 座標における積分点座標、 $\eta_{(Ip^\eta)}$ は一次元線分の $\eta$ 座標における積分点座標である。

また、 $w_{(Ip^\xi)}, w_{(Ip^\eta)}$ は、 各次元方向の積分点 $Ip^\xi, Ip^\eta$ の重み係数である。

各方向の数値積分の座標と重みについては、 前節の「一次元」を参照。

なお、 四辺形の境界稜線上の関数の積分は、 一次元線分上のガウス積分を用いればよい。 前節の「一次元」を参照。