積分

ある六面体領域 $-1.0 \le \xi \le 1.0$ 、 $-1.0 \le \eta \le 1.0$ 、 $-1.0 \le \zeta \le 1.0$ における 関数 $f$ について、

$$f = f ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$ (3.17)

その積分は、

$$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 f \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta \mathrm{d} \zeta$$

$$= \sum_{Ip^\xi} \sum_{Ip^\eta} \sum_{Ip^\zeta} w_{(Ip^\xi)} w_{(Ip^\eta)} w_{(Ip^\zeta)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip^\xi Ip^\eta Ip^\zeta)} ) \! )$$

ここで、 $\{ \xi \} _{(Ip^\xi Ip^\eta Ip^\zeta)}$ は、 各次元方向の積分点 $Ip^\xi, Ip^\eta, Ip^\zeta$ の自然座標であり、

$$\{ \xi \} _{(Ip^\xi Ip^\eta Ip^\zeta)} = { \left \langle \begin{a... ...)} & \eta_{(Ip^\eta)} & \zeta_{(Ip^\zeta)} \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$ (3.18)

$\xi_{(Ip^\xi)}$ は一次元の$\xi$座標における積分点座標、 $\eta_{(Ip^\eta)}$ は一次元の$\eta$座標における積分点座標、 $\zeta_{(Ip^\zeta)}$ は一次元の$\zeta$座標における積分点座標である。

また、 $w_{(Ip^\xi)}, w_{(Ip^\eta)}, w_{(Ip^\zeta)}$ は、 各次元方向の積分点 $Ip^\xi, Ip^\eta, Ip^\zeta$ の重み係数である。

各方向の数値積分の座標と重みについては、 前節の「一次元」を参照。

なお、 六面体の境界四辺形表面上の関数の積分は、 二次元四辺形上のガウス積分を用いればよい。 前節の「四辺形」を参照。