稜線上の法線方向成分指定の積分

要素 $Ie$ 境界稜線 $Iedge$ において、 ${}^{t} f$ を、 あるベクトル量の法線方向成分を表すスカラー関数であるとする。

$${}^{t} f = f ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$ (4.51)

このベクトルの積分は、 $\xi = \pm 1, \eta = \pm 1$ の稜線についてそれぞれ 以下のように定義される。

$\xi = \pm 1$ の稜線の場合、

$$\int_{l^{(Iedge)}} {}^{t} f \{ n \} \mathrm{d} l$$

$$= \int_{-1}^1 {}^{t} f \{ J^l \} \mathrm{d} \eta$$

$$= \sum_{Ip} w_{(Ip)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! ) \{ J^l \} ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! )$$ (4.52)

ここで、 線積分の変換子 $\{ J^l \}$ は、

$$\{ J^l \} = \{ J^l \} ( \! ( \{ \xi \} ) \! ) = a \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \eta }$$ (4.53)

数値積分の座標と重みについては、 前パラグラフの「境界積分」を参照。

$\eta = \pm 1$ の稜線の場合、

$$\int_{l^{(Iedge)}} {}^{t} f \{ n \} \mathrm{d} l$$

$$= \int_{-1}^1 {}^{t} f \{ J^l \} \mathrm{d} \xi$$

$$= \sum_{Ip} w_{(Ip)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! ) \{ J^l \} ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! )$$ (4.54)

ここで、 線積分の変換子 $\{ J^l \}$ は、

$$\{ J^l \} = \{ J^l \} ( \! ( \{ \xi \} ) \! ) = a \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \xi }$$ (4.55)

数値積分の座標と重みについては、 前パラグラフの「境界積分」を参照。