領域積分

要素 $Ie$ における 関数 ${}^{t} f$ について、

$${}^{t} f = f ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$ (5.47)

その領域積分は、

$$\int_{V_{(Ie)}} {}^{t} f \mathrm{d} V$$

$$= \int_0^1 \int_0^{1-\eta} \int_{-1}^1 {}^{t} f {}^{t} J^V \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta \mathrm{d} \zeta$$

$$= \sum_{(Ip)} \sum_{(Ip^\zeta)} w_{(Ip)} w_{(Ip^\zeta)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip Ip^\zeta)} ) \! ) J^V ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip Ip^\zeta)} ) \! )$$

ここで、 体積積分の変換子 ${}^{t} J^V$ は、 Jacobianのdeterminantの $1/2$ 、すなわち、三角柱の体積となり、

$$J^V = J^V ( \! ( \{ \xi \} ) \! ) = 1/2 \mathrm{det} \; \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \{ \xi \} }$$ (5.48)

$\{ \xi \} _{(Ip Ip^\zeta)}$ は、 面内および厚み方向の積分点 $Ip, Ip^\zeta$ の自然座標であり、 面内方向 $\xi, \eta$ には三角形の積分点 $Ip$ の自然座標、 厚み方向 $\zeta$ は一次元の積分点 $Ip^\zeta$ の自然座標を用いる。

一般に、 面内方向には三角形のガウス積分、 厚み方向 $\zeta$ にはニュートンコーツ積分を行う。

また、 $w_{(Ip)}$ は、面内方向の三角形の積分点 $Ip$ の重み係数、 $w_{(Ip^\zeta)}$ は厚み方向 $Ip^\zeta$ の重み係数である。

各方向の数値積分の座標と重みについては、 面内方向には、「数値積分」「ガウス積分」「三角形」を参照。 $\zeta$ 方向には、「数値積分」「ニュートンコーツ積分」を参照。