二次方程式

(参考文献：Numerical Recipes in C, 5.5 二次方程式、三次方程式)

二次方程式は以下のように定義される。

$$a x^2 + b x + c = 0$$ (1.1)

ここで、 $x$ は求めるべき解であり、 $a$ は非ゼロのスカラー、 $b$ 、$c$ はスカラーである。

この方程式の解 $x$ の種類は、 以下の判別式 $d$ によって決定される。

$$d = b^2 - 4 a c$$ (1.2)

もし、$d$ が0の場合、解は一つの重根 $x$ となる。

$$x = - \frac{b}{2 a}$$ (1.3)

もし、$d$ が正の場合、解は二つの実根 $x_0$ 、$x_1$となる。

$$x_0 = \frac{-b + \sqrt{d}}{2 a}$$

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{d}}{2 a}$$ (1.4)

もし、$d$ が負の場合、解は二つの虚根となる。

なお、解をロバストに求めるために、以下の手法を用いる。

まず、以下の $q$ を求める。

$$q = -1/2 ( b + sgn( b ) \sqrt{d} )$$ (1.5)

これを用いて、

$$x_0 = \frac{q}{a}$$

$$x_1 = \frac{c}{q}$$ (1.6)