三次方程式

(参考文献：Numerical Recipes in C, 5.5 二次方程式、三次方程式)

三次方程式は以下のように定義される。

$$x^3 + a x^2 + b x + c = 0$$ (1.7)

ここで、 $x$ は求めるべき解であり、 $a$ 、$b$ 、$c$ はスカラーである。

この方程式の解 $x$ の種類は、 以下の判別式 $d$ によって決定される。

$$d = Q^3 - R^2$$ (1.8)

ここで、 $Q$ 、$R$ は以下のように定義される。

$$Q = \frac{a^2 - 3 b}{9}$$ (1.9)

$$R = \frac{2 a^3 - 9 a b + 27 c}{54}$$ (1.10)

もし、$d$ がゼロまたは正であれば、 この方程式は3つの実根を持つ。

$$x_0 = -2 \sqrt{Q} \cos{ \frac{\theta}{3} } - \frac{a}{3}$$

$$x_1 = -2 \sqrt{Q} \cos{ \frac{\theta + 2 \pi}{3} } - \frac{a}{3}$$

$$x_2 = -2 \sqrt{Q} \cos{ \frac{\theta + 4 \pi}{3} } - \frac{a}{3}$$ (1.11)

ここで、 $\theta$ は以下のように定義される。

$$\theta = \arccos{ \frac{R}{ \sqrt{Q^3} } }$$ (1.12)

一方、 もし、$d$ が負であれば、 この方程式は1つの実根を持つ。

$$x = - sgn( R ) ( e + \frac{Q}{e} ) - \frac{a}{3}$$ (1.13)

ここで、 $e$ は以下のように定義される。

$$e = (\sqrt{-d} + \left\vert R \right\vert )^{1/3}$$ (1.14)