解説

以下の関係式が成り立つ。

$$[ X ] : [ Y ] = \mathrm{tr} \; ( { [ X ] } ^ { T } \cdot [ Y ] ) = \mathrm{tr} \; ( { [ Y ] } ^ { T } \cdot [ X ] )$$

$$= \mathrm{tr} \; ( [ Y ] \cdot { [ X ] } ^ { T } ) = \mathrm{tr} \; ( [ X ] \cdot { [ Y ] } ^ { T } )$$ (3.75)

$$[ X ] : [ I ] = \mathrm{tr} \; [ X ]$$ (3.76)

$[ X ]$ 、$[ Y ]$ 、$[ Z ]$ をそれぞれ、 対称テンソル、反対称テンソル、任意テンソルとすると、

$$[ X ] : [ Y ] = 0$$ (3.77)

$$[ X ] : [ Z ] = [ X ] : \mathrm{sym} \; [ Z ]$$ (3.78)

$$[ Y ] : [ Z ] = [ Y ] : \mathrm{asym} \; [ Z ]$$ (3.79)