解説

もし、

$${ [ X ] } ^ { T } = - [ X ]$$ (2.62)

ならば、$[ X ]$ は反対称テンソル anti-symmetric tensor。

このとき、軸性ベクトル axial vector を$\{ \omega \}$とすると、

$$X_{ij} = - e_{ijk} \omega_k$$ (2.63)

で表せる。すなわち、

$$[ X ] = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & -\omega_2 & \omega_1 \\ \omega_2 & 0 & -\omega_0 \\ -\omega_1 & \omega_0 & 0 \end{array} \right]$$ (2.64)

$$\{ \omega \} = - 1/2 e_{ijk} X_{ij} \{ e \} _k$$ (2.65)

軸性ベクトルと反対称テンソル間の変換は、算術演算として実装できる。

$[ X ]$ が反対称テンソルのとき、 任意のベクトル$\{ a \}$に対し、 以下の関係式が成り立つ。

$$[ X ] \cdot \{ a \} = \{ \omega \} \times \{ a \}$$ (2.66)

$$\{ a \} \cdot ( [ X ] \cdot \{ a \} ) = 0$$ (2.67)