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行列式 $ \mathrm{det} \; [ X ] $ （３次主不変量 $III_{ [ X ] }$）

行列式 determinant あるいは３次主不変量は、算術演算として実装できる。


$\displaystyle III_{ [ X ] }$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mathrm{det} \; [ X ]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle e_{ijk} X_{i1} X_{j2} X_{k3}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle e_{ijk} X_{1i} X_{2j} X_{3k}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle 1/6 e_{ijk} e_{rst} X_{ir} X_{js} X_{kt}$ (2.106)

すなわち、


$\displaystyle \mathrm{det} \; [ X ]$ $\textstyle =$ $\displaystyle X_{00} X_{11} X_{22} + X_{01} X_{12} X_{20} + X_{02} X_{10} X_{21}$  
    $\displaystyle - X_{02} X_{11} X_{20} - X_{01} X_{10} X_{22} - X_{00} X_{12} X_{21}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle X_{xx} X_{yy} X_{zz} + X_{xy} X_{yz} X_{zx} + X_{xz} X_{yx} X_{zy}$  
    $\displaystyle - X_{xz} X_{yy} X_{zx} - X_{xy} X_{yx} X_{zz} - X_{xx} X_{yz} X_{zy}$ (2.107)

もし、 $ [ X ] $ が対称テンソルの場合には、


$\displaystyle \mathrm{det} \; [ X ]$ $\textstyle =$ $\displaystyle X_{00} X_{11} X_{22} + 2 X_{01} X_{12} X_{20}$  
    $\displaystyle - X_{00} ( X_{12} ) ^ { 2 } - X_{11} ( X_{20} ) ^ { 2 } - X_{22} ( X_{01} ) ^ { 2 }$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle X_{xx} X_{yy} X_{zz} + 2 X_{xy} X_{yz} X_{zx}$  
    $\displaystyle - X_{xx} ( X_{yz} ) ^ { 2 } - X_{yy} ( X_{zx} ) ^ { 2 } - X_{zz} ( X_{xy} ) ^ { 2 }$ (2.108)


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Hiroshi KAWAI 平成15年4月19日