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: 実装 : ２階のテンソル（テンソル） : 解説   目次

逆テンソル $ { [ X ] } ^ { -1 } $

もし、 $ \mathrm{det} \; [ X ] \neq 0$ ならば、 $ [ X ] $ は正則であり、 逆テンソル inverse tensor $ { [ X ] } ^ { -1 } $ を持つ。


$\displaystyle { [ X ] } ^ { -1 } = \frac{ \Delta_{jr} }{ \mathrm{det} \; [ X ] } \{ e \} _j \otimes \{ e \} _r$     (2.114)

ここで、 $\Delta_{jr}$は$ [ X ] $の成分$X_{jr}$についての余因子であり、


$\displaystyle \Delta_{jr} = 1/2 e_{jkl} e_{rst} X_{ks} X_{lt}$     (2.115)

すなわち、


$\displaystyle { [ X ] } ^ { -1 }$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{ \mathrm{det} \; [ X ] } \left[ \begin{array}{ccc} Y_{00... ...} \\ Y_{10} & Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{20} & Y_{21} & Y_{22} \end{array} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{ \mathrm{det} \; [ X ] } \left[ \begin{array}{ccc} Y_{xx... ...} \\ Y_{yx} & Y_{yy} & Y_{yz} \\ Y_{zx} & Y_{zy} & Y_{zz} \end{array} \right]$ (2.116)


$\displaystyle Y_{00} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{01} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{02} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{10} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{11} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{12} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{20} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{21} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{22} = ???????????????????????????????????????????$     (2.117)


$\displaystyle Y_{xx} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{xy} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{xz} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{yx} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{yy} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{yz} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{zx} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{zy} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{zz} = ???????????????????????????????????????????$     (2.118)

これは、算術演算として実装できる。

もし、 $ [ X ] $ が対称テンソルであれば、 その逆テンソル $ { [ X ] } ^ { -1 } $ も対称である。 このとき、


$\displaystyle { [ X ] } ^ { -1 }$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{ \mathrm{det} \; [ X ] } \left[ \begin{array}{ccc} Y_{00... ...} \\ Y_{01} & Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{20} & Y_{12} & Y_{22} \end{array} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{ \mathrm{det} \; [ X ] } \left[ \begin{array}{ccc} Y_{xx... ...} \\ Y_{xy} & Y_{yy} & Y_{yz} \\ Y_{zx} & Y_{yz} & Y_{zz} \end{array} \right]$ (2.119)


$\displaystyle Y_{00} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{11} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{22} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{01} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{12} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{20} = ???????????????????????????????????????????$     (2.120)


$\displaystyle Y_{xx} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{yy} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{zz} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{xy} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{yz} = ???????????????????????????????????????????$      
$\displaystyle Y_{zx} = ???????????????????????????????????????????$     (2.121)


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Hiroshi KAWAI 平成15年4月19日