ベクトル未知数の勾配 $\left[ \frac{ \partial {}^{t} \{ u \} }{ \partial {}^{t} \{ x \} } \right]$

自然座標 $\{ \xi \}$ における ベクトル未知数の勾配 $\left[ \frac{ \partial {}^{t} \{ u \} }{ \partial {}^{t} \{ x \} } \right]$ は、

$$\left[ \frac{ \partial {}^{t} \{ u \} }{ \partial {}^{t} \{ x \} } \right] = \left[ \frac{ \partial \{ u \} }{ \partial \{ x \} } \right] ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$

$$= \sum_{In} \sum_{Id} {}^{t} U_{(In Id)} {}^{t} [ N^x ] _{(In Id)}$$ (5.19)

ここで、 ${}^{t} [ N^x ] _{(In Id)}$ は 節点 $In$ 自由度 $Id$ での補間関数勾配テンソルであり、 要素タイプごとにそれぞれ 形状関数 $N_{(In)}$ やその他の付加情報などを用いて定められる。

もし、 ベクトル未知数の自由度が各軸方向の２成分により表現される場合、 $Id = 0 \sim 1$ であるから、 補間関数勾配テンソル ${}^{t} [ N^x ] _{(In Id)}$ は、

$${}^{t} [ N^x ] _{(In Id)} = [ N^x ] _{(In Id)} ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$

$$= \frac{ \partial N }{ \partial {}^{t} x } _{(In)} \{ e \} _{Id} \o... ...rac{ \partial N }{ \partial {}^{t} y } _{(In)} \{ e \} _{Id} \otimes \{ e \} _y$$ (5.20)