領域積分

要素 $Ie$ における 関数 ${}^{t} f$ について、

$${}^{t} f = f ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$ (5.32)

その領域積分は、

$$\int_{S^{(Ie)}} {}^{t} f \mathrm{d} S$$

$$= \int_0^1 \int_0^{1-\eta} {}^{t} f {}^{t} J^S \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta$$

$$= \sum_{(Ip)} w_{(Ip)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! ) J^S ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! )$$ (5.33)

ここで、 面積積分の変換子 ${}^{t} J^S$ は、 Jacobianのdeterminantの $1/2$ 、すなわち、三角形の面積となり、

$${}^{t} J^S = J^S ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$

$$= 1/2 \mathrm{det} \; \left[ \frac{ \partial {}^{t} \{ x \} }{ \partial \{ \xi \} } \right] a$$ (5.34)

$\{ \xi \} _{(Ip)}$ は、三角形の積分点 $Ip$ の自然座標、 $w_{(Ip)}$ は、その重み係数である。

各方向の数値積分の座標と重みについては、 「数値積分」「ガウス積分」「２次元三角形」を参照。