解説

テンソルの客観性 objectivity を持つ応力速度として、 各Cauchy応力の客観速度が以下のように定義される。

Cauchy応力のJaumann速度 ${}^{t} [ \grave{ \sigma^J } ]$ は、

$${}^{t} [ \grave{ \sigma^J } ] = {}^{t} [ \dot{\sigma} ] - {}^{t} [ W ] \cdot {}^{t} [ \sigma ] + {}^{t} [ \sigma ] \cdot {}^{t} [ W ]$$ (6.105)

$${}^{t} [ \dot{\sigma} ] = {}^{t} [ \grave{ \sigma^J } ] + {}^{t} [ W ] \cdot {}^{t} [ \sigma ] - {}^{t} [ \sigma ] \cdot {}^{t} [ W ]$$ (6.106)

Cauchy応力のOldroyd速度 ${}^{t} [ \grave{ \sigma^O } ]$ は、

$${}^{t} [ \grave{ \sigma^O } ] = {}^{t} [ \dot{\sigma} ] - {}^{t} [ L ] \cdot {}^{t} [ \sigma ] - {}^{t} [ \sigma ] \cdot { {}^{t} [ L ] } ^ { T }$$ (6.107)

Cauchy応力のCotter-Rivlin速度 ${}^{t} [ \grave{ \sigma^C } ]$ は、

$${}^{t} [ \grave{ \sigma^C } ] = {}^{t} [ \dot{\sigma} ] + { {}^{t} [ L ] } ^ { T } \cdot {}^{t} [ \sigma ] + {}^{t} [ \sigma ] \cdot {}^{t} [ L ]$$ (6.108)

したがって、

$${}^{t} [ \grave{ \sigma^J } ] = {}^{t} [ \grave{ \sigma^O } ] + {}^{t} [ D ] \cdot {}^{t} [ \sigma ] + {}^{t} [ \sigma ] \cdot {}^{t} [ D ]$$

$$= {}^{t} [ \grave{ \sigma^C } ] - {}^{t} [ D ] \cdot {}^{t} [ \sigma ] - {}^{t} [ \sigma ] \cdot {}^{t} [ D ]$$ (6.109)

同様に、 相対Kirchhoff応力 ${}_{t}^{\tau} [ \tau ]$ の Jaumann速度、Oldroyd速度、Cotter-Rivlin速度が 以下のように定義できる。

$${}_{t}^{t} [ \grave{ \tau^J } ] = {}^{t} [ \grave{ \sigma^J } ] + ( \mathrm{tr} \; {}^{t} [ D ] ) {}^{t} [ \sigma ]$$ (6.110)

$${}_{t}^{t} [ \grave{ \tau^O } ] = {}^{t} [ \grave{ \sigma^O } ] + ( \mathrm{tr} \; {}^{t} [ D ] ) {}^{t} [ \sigma ] = {}_{t}^{t} [ \dot{S} ]$$ (6.111)

$${}_{t}^{t} [ \grave{ \tau^C } ] = {}^{t} [ \grave{ \sigma^C } ] + ( \mathrm{tr} \; {}^{t} [ D ] ) {}^{t} [ \sigma ]$$ (6.112)

${}_{t}^{t} [ \dot{S} ]$ はTruesdellの応力速度と呼ばれ、

$${}_{t}^{t} [ \dot{S} ] = {}_{t}^{t} [ \grave{ \tau^O } ] = {}_{t}... ...] - {}^{t} [ D ] \cdot {}^{t} [ \sigma ] - {}^{t} [ \sigma ] \cdot {}^{t} [ D ]$$ (6.113)

Truesdel応力速度 ${}_{t}^{t} [ \dot{S} ]$ と 第２Piola-Kirchhoff応力の固有時間微分 ${}_{o}^{t} [ \dot{S} ]$ との関係は、

$${}_{t}^{t} [ \dot{S} ] = \frac{1}{ {}_{o}^{t} J} {}_{o}^{t} [ F ] \cdot {}_{o}^{t} [ \dot{S} ] \cdot { {}_{o}^{t} [ F ] } ^ { T }$$ (6.114)

一方、第１Piola-Kirchhoff応力の固有時間微分 ${}_{t}^{t} [ \dot{\Pi} ]$ は、

$${}_{t}^{t} [ \dot{\Pi} ] = {}^{t} [ \dot{T} ] + ( \mathrm{tr} \; {}^{t} [ L ] ) {}^{t} [ \sigma ] - {}^{t} [ L ] \cdot {}^{t} [ \sigma ]$$

$$= {}^{t} [ \dot{\tau} ] - {}^{t} [ L ] \cdot {}^{t} [ \sigma ]$$

$$= {}_{t}^{t} [ \grave{ \tau^O } ] + {}^{t} [ \sigma ] \cdot { {}^{t} [ L ] } ^ { T }$$

$$= {}_{t}^{t} [ \grave{ \tau^J } ] - {}^{t} [ D ] \cdot {}^{t} [ \si... ... \sigma ] \cdot {}^{t} [ D ] + {}^{t} [ \sigma ] \cdot { {}^{t} [ L ] } ^ { T }$$ (6.115)