３次元シェル

ここでは、 ３次元シェル問題を仮定する。

局所材料座標系は、 x, y軸方向（面内方向）についての２次元座標系である。 すなわち、 z方向は局所サーフェス座標系のz方向（厚み方向）に一致する。

局所材料座標系における 線膨張係数テンソル $[ \alpha^{lm} ]$ は、 ２次元テンソルであり、

$$\alpha^{lm}_{xx} = \alpha^{lm}_x$$

$$\alpha^{lm}_{yy} = \alpha^{lm}_y$$ (9.4)

ここで、 $\alpha^{lm}_x$ 、$\alpha^{lm}_y$ は それぞれ局所材料座標系におけるx, y方向の熱膨張係数であり、 材料定数である。

これは局所材料座標系による定義なので、 これをまず局所サーフェス座標系に変換し、 次に、全体座標系に変換する。

まず、 局所材料座標系の２次元テンソル $[ \alpha^{lm} ]$ を、 局所サーフェス座標系のもの $[ \alpha^{ls} ]$ に変換する。 これは、面内x, y成分についての２次元座標系の座標変換であり、 その後で、これを３次元に拡張する。z方向成分は０とする。

次に、 局所サーフェス座標系におけるもの $[ \alpha^{ls} ]$ を 全体座標系における線膨張係数テンソル $[ \alpha ]$ に変換する。 このとき必要な座標変換テンソルは、 局所サーフェス座標系の３つの基底ベクトル、 ${}^{t} \{ V^x \}$、 ${}^{t} \{ V^y \}$、 ${}^{t} \{ V^z \}$ より計算される。