逆テンソル ${ [ X ] } ^ { -1 }$

もし、 $\mathrm{det} \; [ X ] \neq 0$ ならば、 $[ X ]$ は正則であり、 逆テンソル inverse tensor ${ [ X ] } ^ { -1 }$ を持つ。

$${ [ X ] } ^ { -1 } = \frac{ \Delta_{jr} }{ \mathrm{det} \; [ X ] } \{ e \} _j \otimes \{ e \} _r$$ (1.85)

ここで、 $\Delta_{jr}$は$[ X ]$の成分$X_{jr}$についての余因子である。

すなわち、

$${ [ X ] } ^ { -1 } = \frac{1}{ \mathrm{det} \; [ X ] } \left[ \begin{array}{cc} X_{11} & -X_{01} \\ -X_{10} & X_{00} \end{array} \right]$$

$$= \frac{1}{ \mathrm{det} \; [ X ] } \left[ \begin{array}{cc} X_{yy} & -X_{xy} \\ -X_{yx} & X_{xx} \end{array} \right]$$ (1.86)

これは、算術演算として実装できる。

もし、 $[ X ]$ が対称テンソルであれば、 その逆テンソル ${ [ X ] } ^ { -1 }$ も対称である。 このとき、

$${ [ X ] } ^ { -1 } = \frac{1}{ \mathrm{det} \; [ X ] } \left[ \begin{array}{cc} X_{11} & -X_{01} \\ -X_{01} & X_{00} \end{array} \right]$$

$$= \frac{1}{ \mathrm{det} \; [ X ] } \left[ \begin{array}{cc} X_{yy} & -X_{xy} \\ -X_{xy} & X_{xx} \end{array} \right]$$ (1.87)