テンソルの固有値 $\lambda _i$ と固有ベクトル $\{ \phi \} _i$

もし、 $[ X ]$ が対称テンソルである場合、 固有値 eigenvalue、固有ベクトル eigenvector を求める 以下の処理を算術演算として実装できる。

テンソル $[ X ]$ の固有値 $\lambda$ は、 以下の特性方程式（２次方程式）の解である。

$$\mathrm{det} \; ( [ X ] - \lambda [I] ) = ( \lambda ) ^ { 2 } - I_{ [ X ] } \lambda + II_{ [ X ] }$$

$$= ( \lambda ) ^ { 2 } - \mathrm{tr} \; [ X ] \lambda + \mathrm{det} \; [ X ]$$

$$= 0$$ (1.100)

もし、 $[ X ]$ が対称テンソルの場合、 固有値 $\lambda _i$ と固有ベクトル $\{ \phi \} _i$ は実数となる。 さらに、 もし、 $\lambda_i \ne \lambda_j$ の場合には、 $\{ \phi \} _i \cdot \{ \phi \} _j = 0$ （固有ベクトルの直交性）。

もし、 重根でない場合には、 固有値は $\lambda_0$、$\lambda_1$ と２つ存在する。 それぞれに対応する固有ベクトル$\{ \phi \} _i$が存在する。

もし、 固有値が異なる場合には、 $\{ \phi \} _i$ を単位ベクトルに規格化したものは正規直交基底ベクトルをなす。 これを主軸（主方向） $\{ \tilde{e} \} _i$ とよび、 $\lambda _i$ を主値と呼ぶ。

もし、重根の場合は、 互いに直交する任意のベクトルを選べばよい。