位置 $\{ x \}$

二次元シンプレックス要素では、 位置(全体座標) $\{ x \}$ は二次元ベクトルである。

$$\{ x \} = { \left \langle \begin{array}{cc} x & y \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$ (1.10)

指定の面積座標 $L0, L1, L2$ に対応する 位置(全体座標) $\{ x \}$ は、 以下のようになる。

$$\{ x \} = \{ x \} ( \! ( L0, L1, L2 ) \! ) = L0 \{ x0 \} + L1 \{ x1 \} + L2 \{ x2 \}$$ (1.11)

また、 指定の位置(全体座標) $\{ x \}$ に対応する面積座標 $L0, L1, L2$ は、 以下のように求まる。

$$L0 = L0 ( \! ( \{ x \} ) \! ) = a0 + b0 x + c0 y$$

$$L1 = L1 ( \! ( \{ x \} ) \! ) = a1 + b1 x + c1 y$$

$$L2 = L2 ( \! ( \{ x \} ) \! ) = a2 + b2 x + c2 y$$ (1.12)

ここで、 $a0$, $b1$, $c2$ などは以下のように定義される。

$$a0 = \frac{1}{2 S} (x1 y2 - x2 y1)$$

$$a1 = \frac{1}{2 S} (x2 y0 - x0 y2)$$

$$a2 = \frac{1}{2 S} (x0 y1 - x1 y0)$$ (1.13)

$$b0 = \frac{1}{2 S} (y1 - y2)$$

$$b1 = \frac{1}{2 S} (y2 - y0)$$

$$b2 = \frac{1}{2 S} (y0 - y1)$$ (1.14)

$$c0 = \frac{1}{2 S} (x2 - x1)$$

$$c1 = \frac{1}{2 S} (x0 - x2)$$

$$c2 = \frac{1}{2 S} (x1 - x0)$$ (1.15)

さらに、 面積座標の勾配、すなわち、位置(全体座標) $\{ x \}$ による微分は、

$$\frac{ \partial L0 }{ \partial \{ x \} } = { \left \langle \begin{array}{cc} b0 & c0 \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$

$$\frac{ \partial L1 }{ \partial \{ x \} } = { \left \langle \begin{array}{cc} b1 & c1 \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$

$$\frac{ \partial L2 }{ \partial \{ x \} } = { \left \langle \begin{array}{cc} b2 & c2 \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$ (1.16)