積分

ある四面体領域 $0 \le \xi \le 1$ 、 $0 \le \eta \le 1$ 、 $0 \le \zeta \le 1$ 、 $\xi + \eta + \zeta \le 1$ における 関数 $f$ について、

$$f = f ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$ (3.13)

その積分は、

$$\int_0^1 \int_0^{1-\zeta} \int_0^{1-\eta-\zeta} f \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta \mathrm{d} \zeta$$

$$= \sum_{Ip} w_{(Ip)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! )$$ (3.14)

ここで、 $\{ \xi \} _{(Ip)}$ は積分点 $Ip$ の自然座標であり、 また、 $w_{(Ip)}$ は積分点 $Ip$ の重み係数である。

なお、 四面体の境界三角形表面上の関数の積分は、 二次元三角形上のガウス積分を用いればよい。 前節の「三角形」を参照。