位置 $\{ x \}$ から自然座標 $\{ \xi \}$ への変換

与えられた位置 $\{ x^{src} \}$ から 対応する自然座標 $\{ \xi^{dest} \}$ を求めるには、 以下の連立方程式を $\{ \xi^{dest} \}$ について解く必要がある。

$$\{ f \} = \{ f \} ( \! ( \{ \xi^{dest} \} ) \! ) = \{ x \} ( \! ( \{ \xi^{dest} \} ) \! ) - \{ x^{src} \} = \{ 0 \}$$ (4.8)

これは、一般に非線形連立方程式である。 これには、ニュートンラフソン法に基づく以下の繰り返しアルゴリズムを用いる。

1. 自然座標の初期化

   自然座標 $\{ \xi^{dest} \}$ を適当な値で初期化する。 初期値が求めるべき正解に近ければ、繰り返しループは素早く収束する。

2. 自然座標の更新のループ

   ニュートンラフソンステップについて

   自然座標 $\{ \xi^{dest} \}$ における関数値 $\{ f \}$ を求める。

   
   

   $$\{ f \} = \{ x \} ( \! ( \{ \xi^{dest} \} ) \! ) - \{ x^{src} \}$$ (4.9)

   
   

   自然座標 $\{ \xi^{dest} \}$ における関数値の勾配 $[ J ]$ を求める。

   
   

   $$[ J ] = \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \{ \xi \} } ( \! ( \{ \xi^{dest} \} ) \! )$$ (4.10)

   
   

   自然座標の増分 $\Delta \{ \xi \}$ を求める。

   
   

   $$\Delta \{ \xi \} = - { [ J ] } ^ { -T } \cdot \{ f \}$$ (4.11)

   
   

   自然座標 $\{ \xi^{dest} \}$ を更新する。

   
   

   $$\{ \xi^{dest} \} \gets \{ \xi^{dest} \} + \Delta \{ \xi \}$$ (4.12)

   
   

   もし、増分 $\Delta \{ \xi \}$ が十分小さくなれば、 ループ[ニュートンラフソンステップについて]を終了。