稜線上の積分

要素 $Ie$ 境界稜線 $Iedge$ における 関数 ${}^{t} f$ について、

$${}^{t} f = f ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$ (4.44)

その積分は、 $\xi = \pm 1, \eta = \pm 1$ の稜線についてそれぞれ 以下のように定義される。

$\xi = \pm 1$ の稜線の場合、

$$\int_{l^{(Iedge)}} {}^{t} f \mathrm{d} l$$

$$= \int_{-1}^1 {}^{t} f J^l \mathrm{d} \eta$$

$$= \sum_{Ip} w_{(Ip)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! ) J^l ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! )$$ (4.45)

ここで、 線積分の変換子 $J^l$ は、

$$J^l = J^l ( \! ( \{ \xi \} ) \! ) = a \left\vert \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \eta } \right\vert$$ (4.46)

$\{ \xi \} _{(Ip)}$ は、 稜線 $\xi = \pm 1$ 上に存在する積分点 $Ip$ の自然座標であり、

$$\{ \xi \} _{(Ip)} = { \left \langle \begin{array}{cc} \pm 1 & \eta_{(Ip)} \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$ (4.47)

$\eta_{(Ip)}$ は一次元の $\xi$ 座標における積分点座標である。

また、 $w_{(Ip)}$ は積分点 $Ip$ の重み係数である。

数値積分の座標と重みについては、 「数値積分」「ガウス積分」「一次元」を参照。

$\eta = \pm 1$ の面の場合、

$$\int_{l^{(Iedge)}} {}^{t} f \mathrm{d} l$$

$$= \int_{-1}^1 {}^{t} f J^l \mathrm{d} \xi$$

$$= \sum_{Ip} w_{(Ip)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! ) J^l ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! )$$ (4.48)

ここで、 線積分の変換子 $J^l$ は、

$$J^l = J^l ( \! ( \{ \xi \} ) \! ) = a \left\vert \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \xi } \right\vert$$ (4.49)

$\{ \xi \} _{(Ip)}$ は、 稜線 $\eta = \pm 1$ 上に存在する積分点 $Ip$ の自然座標であり、

$$\{ \xi \} _{(Ip)} = { \left \langle \begin{array}{cc} \xi_{(Ip)} & \pm 1 \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$ (4.50)

$\xi_{(Ip)}$ は一次元の $\xi$ 座標における積分点座標である。

また、 $w_{(Ip)}$ は、積分点 $Ip$ の重み係数である。

数値積分の座標と重みについては、 「数値積分」「ガウス積分」「一次元」を参照。