ベクトル未知数の勾配 $\frac{ \partial {}^{t} \{ u \} }{ \partial \{ x \} }$

自然座標 $\{ \xi \}$ における ベクトル未知数の勾配 $\frac{ \partial {}^{t} \{ u \} }{ \partial \{ x \} }$ は、

$$\frac{ \partial {}^{t} \{ u \} }{ \partial \{ x \} } = \frac{ \partial \{ u \} }{ \partial \{ x \} } ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$

$$= \sum_{In} \sum_{Id} {}^{t} U_{(In Id)} [ N^x ] _{(In Id)}$$ (5.23)

ここで、 $[ N^x ] _{(In Id)}$ は 節点 $In$ 自由度 $Id$ での補間関数勾配テンソルであり、 要素タイプごとにそれぞれ 形状関数 $N_{(In)}$ やその他の付加情報などを用いて定められる。

もし、 ベクトル未知数の自由度が各軸方向の３成分により表現される場合、 $Id = 0 \sim 2$ であるから、 補間関数勾配テンソル ${}^{t} [ N^x ] _{(In Id)}$ は、

$$[ N^x ] _{(In Id)} = [ N^x ] _{(In Id)} ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$

$$= \frac{ \partial N }{ \partial x } _{(In)} \{ e \} _{Id} \otimes \... ..._y + \frac{ \partial N }{ \partial z } _{(In)} \{ e \} _{Id} \otimes \{ e \} _z$$