領域積分

要素 $Ie$ における 関数 ${}^{t} f$ について、

$${}^{t} f = f ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$ (5.64)

その領域積分は、

$$\int_{V_{(Ie)}} {}^{t} f \mathrm{d} V$$

$$= \int_0^1 \int_0^{1-\zeta} \int_0^{1-\eta-\zeta} {}^{t} f J^V \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta \mathrm{d} \zeta$$

$$= \sum_{Ip} w_{(Ip)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! ) J^V ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! )$$

ここで、 体積積分の変換子 $J^V$ は、 Jacobianのdeterminantの $1/6$ 、すなわち、四面体の体積となり、

$$J^V = J^V ( \! ( \{ \xi \} ) \! ) = 1/6 \mathrm{det} \; \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \{ \xi \} }$$ (5.65)

$\{ \xi \} _{(Ip)}$ は、四面体の積分点 $Ip$ の自然座標、 $w_{(Ip)}$ は、その重み係数である。

各方向の数値積分の座標と重みについては、 「数値積分」「ガウス積分」「四面体」を参照。