位置 $\{ x \}$

三次元シンプレックス要素では、 位置(全体座標) $\{ x \}$ は三次元ベクトルである。

$$\{ x \} = { \left \langle \begin{array}{ccc} x & y & z \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$ (1.53)

指定の体積座標 $L0, L1, L2, L3$ に対応する 位置(全体座標) $\{ x \}$ は、 以下のようになる。

$$\{ x \} = \{ x \} ( \! ( L0, L1, L2, L3 ) \! ) = L0 \{ x0 \} + L1 \{ x1 \} + L2 \{ x2 \} + L3 \{ x3 \}$$ (1.54)

また、 指定の位置(全体座標) $\{ x \}$ に対応する体積座標 $L0, L1, L2$ は、 以下のように求まる。

$$L0 = L0 ( \! ( \{ x \} ) \! ) = a0 + b0 x + c0 y + d0 z$$

$$L1 = L1 ( \! ( \{ x \} ) \! ) = a1 + b1 x + c1 y + d1 z$$

$$L2 = L2 ( \! ( \{ x \} ) \! ) = a2 + b2 x + c2 y + d2 z$$

$$L3 = L3 ( \! ( \{ x \} ) \! ) = a3 + b3 x + c3 y + d3 z$$ (1.55)

ここで、 $a0$, $b1$, $c2$ などは以下のように定義される。

$$a0 = \frac{1}{6 V} (+ x1 y2 z3 + x3 y1 z2 + x2 y3 z1$$

$$- x1 y3 z2 - x2 y1 z3 - x3 y2 z1)$$

$$a1 = \frac{1}{6 V} (+ x0 y2 z3 + x3 y0 z2 + x2 y3 z0$$

$$- x0 y3 z2 - x2 y0 z3 - x3 y2 z0)$$

$$a2 = \frac{1}{6 V} (+ x0 y1 z3 + x3 y0 z1 + x1 y3 z0$$

$$- x0 y3 z1 - x1 y0 z3 - x3 y1 z0)$$

$$a3 = \frac{1}{6 V} (+ x0 y1 z2 + x2 y0 z1 + x1 y2 z0$$

$$- x0 y2 z1 - x1 y0 z2 - x3 y1 z0)$$ (1.56)

$$b0 = \frac{1}{6 V} (- y1 z2 + y1 z3 + y2 z1 - y2 z3 - y3 z1 + y3 z2)$$

$$b1 = \frac{1}{6 V} (+ y0 z2 - y0 z3 - y2 z0 + y2 z3 + y3 z0 - y3 z2)$$

$$b2 = \frac{1}{6 V} (- y0 z1 + y0 z3 + y1 z0 - y1 z3 - y3 z0 + y3 z1)$$

$$b3 = \frac{1}{6 V} (+ y0 z1 - y0 z2 - y1 z0 + y1 z2 + y2 z0 - y2 z1)$$ (1.57)

$$c0 = \frac{1}{6 V} (+ z2 x1 - z3 x1 - z1 x2 + z3 x2 + z1 x3 - z2 x3)$$

$$c1 = \frac{1}{6 V} (- z2 x0 + z3 x0 + z0 x2 - z3 x2 - z0 x3 + z2 x3)$$

$$c2 = \frac{1}{6 V} (+ z1 x0 - z3 x0 - z0 x1 + z3 x1 + z0 x3 - z1 x3)$$

$$c3 = \frac{1}{6 V} (- z1 x0 + z2 x0 + z0 x1 - z2 x1 - z0 x2 + z1 x2)$$ (1.58)

$$d0 = \frac{1}{6 V} (- x2 y1 + x3 y1 + x1 y2 - x3 y2 - x1 y3 + x2 y3)$$

$$d1 = \frac{1}{6 V} (+ x2 y1 - x3 y1 - x1 y2 + x3 y2 + x1 y3 - x2 y3)$$

$$d2 = \frac{1}{6 V} (- x2 y1 + x3 y1 + x1 y2 - x3 y2 - x1 y3 + x2 y3)$$

$$d3 = \frac{1}{6 V} (+ x2 y1 - x3 y1 - x1 y2 + x3 y2 + x1 y3 - x2 y3)$$ (1.59)

さらに、 体積座標の勾配、すなわち、位置(全体座標) $\{ x \}$ による微分は、

$$\frac{ \partial L0 }{ \partial \{ x \} } = { \left \langle \begin{array}{ccc} b0 & c0 & d0 \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$

$$\frac{ \partial L1 }{ \partial \{ x \} } = { \left \langle \begin{array}{ccc} b1 & c1 & d1 \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$

$$\frac{ \partial L2 }{ \partial \{ x \} } = { \left \langle \begin{array}{ccc} b2 & c2 & d2 \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$

$$\frac{ \partial L3 }{ \partial \{ x \} } = { \left \langle \begin{array}{ccc} b3 & c3 & d3 \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$ (1.60)