補間関数勾配

節点

の補間関数勾配の各x, y, z成分を、それぞれ、 $\frac{ \partial N }{ \partial x } _{(In)}$ 、 $\frac{ \partial N }{ \partial y } _{(In)}$ 、 $\frac{ \partial N }{ \partial z } _{(In)}$ とする。三次元シンプレックス一次要素では、補間関数は体積座標の勾配、すなわち、 $b_{(In)}$ 、 $c_{(In)}$ 、 $d_{(In)}$ となる。「シンプレックス要素」「三次元シンプレックス要素」を参照。

$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial x } _{(0)} = b0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial x } _{(1)} = b1$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial x } _{(2)} = b2$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial x } _{(3)} = b3$

$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial y } _{(0)} = c0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial y } _{(1)} = c1$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial y } _{(2)} = c2$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial y } _{(3)} = c3$

$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial z } _{(0)} = d0$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial z } _{(1)} = d1$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial z } _{(2)} = d2$
$\displaystyle \frac{ \partial N }{ \partial z } _{(3)} = d3$			(5.3)

温度勾配ベクトルは、補間関数勾配の行列 $[ \mathbf{ N^x } ]$ を用いて補間される。これは、3x4の行列であり、定数となる。