解説

$\left[ \{ a \} \quad \{ b \} \quad \{ c \} \right]$ は、 $\{ a \}$ 、 $\{ b \}$ 、 $\{ c \}$ を３辺とする平行六面体の体積に等しい。または、これらを３辺とする四面体の体積の６倍である。

$\displaystyle \left[ \{ a \} \quad \{ b \} \quad \{ c \} \right]$	$\textstyle =$	$\displaystyle \left[ \{ b \} \quad \{ c \} \quad \{ a \} \right]$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \left[ \{ c \} \quad \{ a \} \quad \{ b \} \right]$
	$\textstyle =$	$\displaystyle - \left[ \{ b \} \quad \{ a \} \quad \{ c \} \right]$
	$\textstyle =$	$\displaystyle - \left[ \{ c \} \quad \{ b \} \quad \{ a \} \right]$
	$\textstyle =$	$\displaystyle - \left[ \{ a \} \quad \{ c \} \quad \{ b \} \right]$	(2.31)

$\displaystyle \left[ \{ a \} \quad \{ b \} \quad \{ c \} \right]$	$\textstyle =$	$\displaystyle ( \{ a \} \times \{ b \} ) \cdot \{ c \}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle ( \{ b \} \times \{ c \} ) \cdot \{ a \}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle ( \{ c \} \times \{ a \} ) \cdot \{ b \}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle - ( \{ b \} \times \{ a \} ) \cdot \{ c \}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle - ( \{ c \} \times \{ b \} ) \cdot \{ a \}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle - ( \{ a \} \times \{ c \} ) \cdot \{ b \}$	(2.32)