ベクトル未知数の補間 ${}^{t} \{ u \}$

自然座標 $\{ \xi \}$ におけるベクトル未知数 ${}^{t} \{ u \}$ は、

$${}^{t} \{ u \} = \{ u \} ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$

$$= \sum_{In} \sum_{Id} {}^{t} U_{(In Id)} {}^{t} \{ N \} _{(In Id)}$$ (5.17)

ここで、 ${}^{t} U_{(In Id)}$ は 節点 $In$ 自由度 $Id$ での ベクトル未知数の一般化自由度である。

また、 ${}^{t} \{ N \} _{(In Id)}$ は 節点 $In$ 自由度 $Id$ での補間関数ベクトルであり、 要素タイプごとにそれぞれ 形状関数 $N_{(In)}$ やその他の付加情報などを用いて定められる。

もし、 ベクトル未知数の自由度が各軸方向の２成分により表現される場合、 $Id = 0 \sim 1$ であるから、 補間関数ベクトル ${}^{t} \{ N \} _{(In Id)}$ は、 時間に依存せず、

$${}^{t} \{ N \} _{(In Id)} = \{ N \} _{(In Id)} ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$

$$= N_{(In)} \{ e \} _{Id}$$ (5.18)

ここで、 $\{ e \} _{Id} = \{ e \} _x, \{ e \} _y$ は それぞれx, y軸方向の単位ベクトルである。