領域積分

要素 $Ie$ における 関数 ${}^{t} f$ について、

$${}^{t} f = f ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$ (5.35)

その領域積分は、

$$\int_{S^{(Ie)}} {}^{t} f \mathrm{d} S$$

$$= \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 {}^{t} f {}^{t} J^S \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta$$

$$= \sum_{(Ip^\xi)} \sum_{(Ip^\eta)} w_{(Ip^\xi)} w_{(Ip^\eta)} f ( \... ...i \} _{(Ip^\xi Ip^\eta)} ) \! ) J^S ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip^\xi Ip^\eta)} ) \! )$$ (5.36)

ここで、 面積積分の変換子 ${}^{t} J^S$ は、 Jacobianのdeterminant、すなわち、四辺形の面積となり、

$${}^{t} J^S = J^S ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$

$$= \mathrm{det} \; \left[ \frac{ \partial {}^{t} \{ x \} }{ \partial \{ \xi \} } \right] a$$ (5.37)

$\{ \xi \} _{(Ip^\xi Ip^\eta)}$ は、 各次元方向の積分点 $Ip^\xi, Ip^\eta$ の自然座標であり、

$$\{ \xi \} _{(Ip^\xi Ip^\eta)} = { \left\{ \begin{array}{cc} \xi_{(Ip^\xi)} & \eta_{(Ip^\eta)} \end{array} \right\} } ^ { T }$$ (5.38)

$\xi_{(Ip^\xi)}$ は１次元の $\xi$ 座標における積分点座標、 $\eta_{(Ip^\eta)}$ は１次元の $\eta$ 座標における積分点座標である。

また、 $w_{(Ip^\xi)}, w_{(Ip^\eta)}$ は、 各次元方向の積分点 $Ip^\xi, Ip^\eta$ の重み係数である。

各方向の数値積分の座標と重みについては、 「数値積分」「ガウス積分」「１次元線分」を参照。