変形勾配の極分解

変形勾配 ${}_{o}^{t} [ F ]$ は ストレッチを表す正定値対称テンソル ${}_{o}^{t} [ U ]$ 、 ${}_{o}^{t} [ V ]$ と 剛体回転を表す直交テンソル ${}_{o}^{t} [ R ]$ によって、 以下のように右極分解、左極分解される。

$${}_{o}^{t} [ F ] = {}_{o}^{t} [ R ] \cdot {}_{o}^{t} [ U ]$$ (6.20)

$${}_{o}^{t} [ F ] = {}_{o}^{t} [ V ] \cdot {}_{o}^{t} [ R ]$$ (6.21)

右極分解、左極分解は、以下のように求められる。

右Cauchy-Green変形テンソル right Cauchy-Green deformation tensor ${}_{o}^{t} [ C ]$ は、正定値対称テンソルであり、

$${}_{o}^{t} [ C ] = { {}_{o}^{t} [ F ] } ^ { T } \cdot {}_{o}^{t} [ F ]$$ (6.22)

これは未知量である。

左Cauchy-Green変形テンソル left Cauchy-Green deformation tensor ${}_{o}^{t} [ B ]$ は、正定値対称テンソルであり、

$${}_{o}^{t} [ B ] = {}_{o}^{t} [ F ] \cdot { {}_{o}^{t} [ F ] } ^ { T }$$ (6.23)

これは未知量である。

${}_{o}^{t} [ C ]$ は正の固有値 $\lambda _i$ と 互いに直交する実固有ベクトル $\{ \phi \} _i$ を持つから、 主軸系 $\{ \tilde{e} \} _i$ が決まり、

$${}_{o}^{t} [ C ] ^{1/2} = \sqrt{\lambda_i} \{ \tilde{e} \} _i \otimes \{ \tilde{e} \} _i$$ (6.24)

$${}_{o}^{t} [ C ] ^{-1/2} = \frac{1}{ \sqrt{\lambda_i} } \{ \tilde{e} \} _i \otimes \{ \tilde{e} \} _i$$ (6.25)

${ {}_{o}^{t} [ B ] } ^ { 1/2 }$ 、 ${ {}_{o}^{t} [ B ] } ^ { -1/2 }$ もまた同様に定まる。 ${}_{o}^{t} [ B ]$ の固有値は $\lambda _i$ 、 固有ベクトルは ${}_{o}^{t} [ R ] \cdot \{ \phi \} _i$ となる。

右ストレッチテンソル right stretch tensor ${}_{o}^{t} [ U ]$ は、 正定値対称テンソルであり、

$${}_{o}^{t} [ U ] = { {}_{o}^{t} [ C ] } ^ { 1/2 }$$ (6.26)

これは未知量である。 この逆テンソルは、

$${ {}_{o}^{t} [ U ] } ^ { -1 } = { {}_{o}^{t} [ C ] } ^ { -1/2 }$$ (6.27)

左ストレッチテンソル right stretch tensor ${}_{o}^{t} [ V ]$ は、 正定値対称テンソルであり、

$${}_{o}^{t} [ V ] = { {}_{o}^{t} [ B ] } ^ { 1/2 }$$ (6.28)

これは未知量である。 この逆テンソルは、

$${ {}_{o}^{t} [ V ] } ^ { -1 } = { {}_{o}^{t} [ B ] } ^ { -1/2 }$$ (6.29)

$\sqrt{\lambda_i}$ を主ストレッチ principal stretch と呼ぶ。

剛体回転テンソル ${}_{o}^{t} [ R ]$ は、 直交テンソルであり、

$${}_{o}^{t} [ R ] = {}_{o}^{t} [ F ] \cdot { {}_{o}^{t} [ U ] } ^ { -1 } = { {}_{o}^{t} [ V ] } ^ { -1 } \cdot {}_{o}^{t} [ F ]$$ (6.30)

これは未知量である。