解説

時刻 $t = o$ の基準配置における物質点 $\{ X \}$ および その近傍の点 $\{ X \} + \mathrm{d} \{ X \}$ は、 現時点 $t$ において $\{ x \} ( \! ( \{ X \} , t ) \! )$ および $\{ x \} ( \! ( \{ X \} + \mathrm{d} \{ X \} , t ) \! )$ の位置を占める。 $\mathrm{d} \{ X \}$ が微小であれば、

$$\mathrm{d} {}^{t} \{ x \} = \{ x \} ( \! ( \{ X \} + \mathrm{d} \{ X \} , t ) \! ) - \{ x \} ( \! ( \{ X \} , t ) \! )$$ (6.10)

は $\mathrm{d} \{ X \}$ に対し線形となり、 以下の線形変換を定義できる。

$$\mathrm{d} {}^{t} \{ x \} = {}_{o}^{t} [ F ] \cdot \mathrm{d} \{ X \}$$ (6.11)

${}^{t} \{ x \}$ と $\{ X \}$ との関係が連続であるためには、 変形勾配のdeterminantは0になってはならず、

$$\mathrm{det} \; {}_{o}^{t} [ F ] \neq 0$$ (6.12)

基準配置における変位 ${}^{t} \{ u \}$ の勾配 ${}_{o}^{t} [ Z ]$ を 変位勾配テンソル displacement gradient tensor と呼ぶ。

$$\mathrm{d} {}^{t} \{ u \} = {}_{o}^{t} [ Z ] \cdot \mathrm{d} \{ X \}$$ (6.13)

現配置における変位の勾配 ${}^{t} [ Y ] = {}_{t}^{t} [ Z ]$ を用いると、

$$\mathrm{d} {}^{t} \{ u \} = {}^{t} [ Y ] \cdot \mathrm{d} {}^{t} \{ x \}$$ (6.14)

変形勾配 ${}_{o}^{t} [ F ]$ との関係は、

$${ {}_{o}^{t} [ F ] } ^ { -1 } = [ I ] - {}^{t} [ Y ]$$ (6.15)

任意時刻 $\tau$ として、 時刻 $o$ を基準とする現時刻 $\tau$ の 変形勾配を ${}_{o}^{\tau} [ F ]$ 、 時刻 $t$ を基準とする現時刻 $\tau$ の 変形勾配を ${}_{t}^{\tau} [ F ]$ とすると、 これらの関係は、

$${}_{o}^{\tau} [ F ] = {}_{t}^{\tau} [ F ] \cdot {}_{o}^{t} [ F ]$$ (6.16)

基準時刻 $t$ 、現時刻 $o$ の変形勾配を ${}_{t}^{o} [ F ]$ とすると、

$${}_{t}^{o} [ F ] = { {}_{o}^{t} [ F ] } ^ { -1 }$$ (6.17)

基準時刻 $t$ 、現時刻 $t$ の変形勾配を ${}_{t}^{t} [ F ]$ とすると、

$${}_{t}^{t} [ F ] = [ I ]$$ (6.18)

次に、変形勾配の物質時間導関数 ${}_{t}^{t} [ \dot{F} ]$ を求める。 相対変形勾配 ${}_{t}^{\tau} [ F ]$ の時刻 $\tau$ に関する 物質時間導関数 $\frac{ \partial {}_{t}^{\tau} [ F ] }{ \partial \tau }$ を 時刻 $t$ で評価すると、

$${}_{t}^{t} [ \dot{F} ] = \frac{ \partial {}_{t}^{\tau} [ F ] }{ \partial \tau } \bigl\vert _{\tau=t}$$ (6.19)