解説

位置ベクトル ${}^{t} \{ x \}$ から 速度ベクトル ${}^{t} \{ v \}$ への線形変換を以下のように定義する。

$$\mathrm{d} {}^{t} \{ v \} = {}^{t} [ L ] \cdot \mathrm{d} {}^{t} \{ x \}$$ (6.41)

速度勾配テンソルは、時刻 $t$ の現配置における ベクトル場 ${}^{t} \{ v \}$ の勾配である。

変形勾配 ${}_{o}^{t} [ F ]$ との関係は、

$${}^{t} [ L ] = {}_{o}^{t} [ \dot{F} ] \cdot {}_{o}^{t} [ F ] ^{-1} = {}_{t}^{t} [ \dot{F} ]$$ (6.42)

体積変化率 ${}_{o}^{t} J = \mathrm{det} \; {}_{o}^{t} [ F ]$ の 速度 ${}_{o}^{t} \dot{J}$ について、

$$\mathrm{tr} \; {}^{t} [ L ] = \mathrm{div} {}^{t} \{ v \} = \frac{ {}_{o}^{t} \dot{J} }{ {}_{o}^{t} J } = {}_{t}^{t} \dot{J}$$ (6.43)