解説

変形速度とGreen-Lagrange歪速度との関係は、

$${}_{o}^{t} [ \dot{E} ] = { {}_{o}^{t} [ F ] } ^ { T } \cdot {}^{t} [ D ] \cdot {}_{o}^{t} [ F ]$$ (6.67)

また、参照時刻 $t$ 、現時刻 $t$ においては、

$${}_{t}^{t} [ \dot{E} ] = {}^{t} [ D ]$$ (6.68)

Almansi歪速度については、 固有時間微分 ${}^{t} [ \dot{A} ]$ のほかに、 テンソルの客観性 objectivity を持つ歪み速度として、 各客観速度が以下の様に定義される。

Jaumann速度 Jaumann rate ${}^{t} [ \grave{ A^J } ]$ は、

$${}^{t} [ \grave{ A^J } ] = {}^{t} [ \dot{A} ] - {}^{t} [ W ] \cdot {}^{t} [ A ] + {}^{t} [ A ] \cdot {}^{t} [ W ]$$ (6.69)

Oldroyd速度 Oldroyd rate ${}^{t} [ \grave{ A^O } ]$ は、

$${}^{t} [ \grave{ A^O } ] = {}^{t} [ \dot{A} ] - {}^{t} [ L ] \cdot {}^{t} [ A ] - {}^{t} [ A ] \cdot { {}^{t} [ L ] } ^ { T }$$ (6.70)

Cotter-Rivlin速度 Cotter-Rivlin rate ${}^{t} [ \grave{ A^C } ]$ は、

$${}^{t} [ \grave{ A^C } ] = {}^{t} [ \dot{A} ] + { {}^{t} [ L ] } ^ { T } \cdot {}^{t} [ A ] + {}^{t} [ A ] \cdot {}^{t} [ L ]$$ (6.71)

したがって、

$${}^{t} [ \grave{ A^J } ] = {}^{t} [ D ] - {}^{t} [ D ] \cdot {}^{t} [ A ] - {}^{t} [ A ] \cdot {}^{t} [ D ]$$ (6.72)

$${}^{t} [ \grave{ A^O } ] = {}^{t} [ D ] - 2 {}^{t} [ D ] \cdot {}^{t} [ A ] - 2 {}^{t} [ A ] \cdot {}^{t} [ D ]$$ (6.73)

$${}^{t} [ \grave{ A^C } ] = {}^{t} [ D ]$$ (6.74)