微小変形、微小歪みの場合

微小歪みテンソル infinitesimal strain tensor ${}^{t} [ \epsilon ]$ は、 対称テンソルであり、

$${}^{t} [ \epsilon ] = \mathrm{sym} \; { {}^{t} [ Z ] }$$ (6.75)

これは未知量である。

その具体的な形は、次元のタイプによってそれぞれ定義される。 もし、３次元問題の場合、 ３次元テンソル量を用いる。 もし、２次元問題の場合、 ２次元テンソル量を用いる。 もし、軸対称問題の場合、 x, y成分は２次元テンソルで計算し、 zz成分については、 $\frac{ {}^{t} u_x}{ {}^{t} X}$ とする。

微小歪みテンソルは、実数の主値（主歪み principal strain）と 主軸（主方向 principal direction）、主不変量を持つ。

${}^{t} \epsilon_{ii}$ （ $i$ について和をとらない）を垂直歪み normal strain、 ${}^{t} \epsilon_{ij} (i \neq j)$ をせん断歪み shear strainと呼ぶ。 ${}^{t} \gamma_{ij} = 2 {}^{t} \epsilon_{ij} (i \neq j)$ は 工学歪みのせん断成分である。

体積歪み volumetric strain ${}^{t} \epsilon^V$ は、

$${}^{t} \epsilon^V = \mathrm{tr} \; {}^{t} [ \epsilon ]$$ (6.76)

これは未知量である。

偏差歪みテンソル deviatric strain tensor ${}^{t} [ \epsilon^{\prime} ]$ は、 対称テンソルであり、

$${}^{t} [ \epsilon^{\prime} ] = {}^{t} [ \epsilon ] - 1/3 {}^{t} \epsilon^V [ I ]$$ (6.77)

これは未知量である。

偏差歪みテンソルについて、 主偏差歪み、主方向、主不変量（第１不変量は０）が定義できる。

微小歪み速度テンソル infinitesimal strain rate tensor ${}^{t} [ \dot{\epsilon} ]$ は、 対称テンソルであり、

$${}^{t} [ \dot{\epsilon} ] = \mathrm{sym} \; { {}^{t} [ \dot{Z} ] }$$ (6.78)

これは未知量である。

微小歪み速度テンソルについて、 主歪み速度と主軸、主不変量が定義できる。

この増分形は、

$$\mathrm{d} {}^{t} [ \epsilon ] = \mathrm{sym} \; { \mathrm{d} {}^{t} [ Z ] }$$ (6.79)

もし、非線型解析の場合、 これは未知量である。

その具体的な形は、次元のタイプによってそれぞれ定義される。 もし、３次元問題の場合、 ３次元テンソル量を用いる。 もし、２次元問題の場合、 ２次元テンソル量を用いる。 もし、軸対称問題の場合、 x, y成分は２次元テンソルで計算し、 zz成分については、 $\frac{ \mathrm{d} {}^{t} u_x}{ {}^{t} X}$ とする。

体積歪み速度、偏差歪み速度も同様に定義される。