解説

微小変形の線形弾性問題での 仮想仕事の原理式 principle of virtual work は、

$$\int_V {}^{t} [ \sigma ] : \delta {}^{t} [ \epsilon ] \mathrm{d} V$$

$$= \int_V {}^{t} \{ b \} \cdot \delta {}^{t} \{ u \} \mathrm{d} V + \int_{S^{dist}} {}^{t} \{ t \} \cdot \delta {}^{t} \{ u \} \mathrm{d} S$$

$$- \int_V \rho {}^{t} \{ a \} \cdot \delta {}^{t} \{ u \} \mathrm{d} V$$ (7.11)

ここで、 $\delta {}^{t} \{ u \}$ は仮想変位、 $\delta {}^{t} [ \epsilon ]$ は仮想歪み である。

この仮想仕事項に、応力歪み式 7.1 を代入すると、

$$\int_V [[ C ]] : {}^{t} [ \epsilon ] : \delta {}^{t} [ \epsilon ] \mathrm{d} V$$

$$= \int_V {}^{t} \{ b \} \cdot \delta {}^{t} \{ u \} \mathrm{d} V + \int_{S^{dist}} {}^{t} \{ t \} \cdot \delta {}^{t} \{ u \} \mathrm{d} S$$

$$+ \int_V [[ C ]] : {}^{t} [ \epsilon^o ] : \delta {}^{t} [ \epsil... ...hrm{d} V - \int_V {}^{t} [ \sigma^o ] : \delta {}^{t} [ \epsilon ] \mathrm{d} V$$

$$- \int_V \rho {}^{t} \{ a \} \cdot \delta {}^{t} \{ u \} \mathrm{d} V$$ (7.12)

なお、ここで用いられている変数としては、 材料定数 $\rho$ 、$[[ C ]]$ および、 荷重 ${}^{t} \{ b \}$ 、 ${}^{t} \{ t \}$ 、 ${}^{t} [ \epsilon^o ]$ 、 ${}^{t} [ \sigma^o ]$ は既知であり、 ${}^{t} \{ u \}$ 、 ${}^{t} \{ a \}$ は未知であり、 一方、 $\delta {}^{t} \{ u \}$ は任意の値をとり、 $\delta {}^{t} [ \epsilon ]$ は $\delta {}^{t} \{ u \}$ より導出される。

また、静的問題の場合には、 慣性力項を無視することにより、

$$\int_V [[ C ]] : {}^{t} [ \epsilon ] : \delta {}^{t} [ \epsilon ] \mathrm{d} V$$

$$= \int_V {}^{t} \{ b \} \cdot \delta {}^{t} \{ u \} \mathrm{d} V + \int_{S^{dist}} {}^{t} \{ t \} \cdot \delta {}^{t} \{ u \} \mathrm{d} S$$

$$+ \int_V [[ C ]] : {}^{t} [ \epsilon^o ] : \delta {}^{t} [ \epsil... ...hrm{d} V - \int_V {}^{t} [ \sigma^o ] : \delta {}^{t} [ \epsilon ] \mathrm{d} V$$ (7.13)

この場合、未知数は ${}^{t} \{ u \}$ だけになる。