Hookeの法則

ここでは、 微小変形微小歪み問題を 仮定する。

また、 線形弾性材料 linear elastic material を 仮定する。

応力 ${}^{t} [ \sigma ]$ は、

$${}^{t} [ \sigma ] = [[ C^e ]] : {}^{t} [ \epsilon^e ]$$ (8.1)

ここで、 ${}^{t} [ \epsilon^e ]$ は弾性歪み elastic strain 、 $[[ C^e ]]$ は弾性定数テンソル elastic moduli tensor である。

弾性定数テンソル $[[ C^e ]]$ は、 ４階の対称テンソルであり、材料定数である。 この具体的な形は、 異方性／等方性、 次元／位相のタイプによって それぞれ定義される。

逆に、 弾性歪み ${}^{t} [ \epsilon^e ]$ は、

$${}^{t} [ \epsilon^e ] = [[ B^e ]] : {}^{t} [ \sigma ]$$ (8.2)

ここで、 $[[ B^e ]]$ は弾性コンプライアンステンソル elastic compliance tensor である。

弾性コンプライアンステンソル $[[ B^e ]]$ は、 ４階の対称テンソルであり、材料定数である。 また、これは弾性定数テンソルの逆テンソルである。

$$[[ B^e ]] = { [[ C^e ]] } ^ { -1 }$$ (8.3)

この具体的な形は、 異方性／等方性、 次元／位相のタイプによって それぞれ定義される。

なお、 上式を増分型に書き直すと、

$$\mathrm{d} {}^{t} [ \sigma ] = [[ C^e ]] : \mathrm{d} {}^{t} [ \epsilon^e ]$$ (8.4)

ここで、 $\mathrm{d} {}^{t} [ \sigma ]$ は応力増分 stress increment 、 $\mathrm{d} {}^{t} [ \epsilon^e ]$ は弾性歪み増分 elastic strain increment である。

弾性歪みエネルギー密度 elastic strain energy density ${}^{t} U$ は、

$${}^{t} U = 1/2 {}^{t} [ \sigma ] : {}^{t} [ \epsilon^e ] = 1/2 [[ C^e ]] : {}^{t} [ \epsilon^e ] : {}^{t} [ \epsilon^e ]$$ (8.5)