有限要素離散化式

線形熱伝導問題での有限要素離散化式は、 動的問題については、線型で一次の常微分連立方程式であり、 静的問題については、線型の連立一次方程式である。

動的問題において、

$$[ \mathbf{ K } ] {}^{t} \{ \mathbf{ T } \} + [ \mathbf{ C } ] {}^{t} \{ \mathbf{ \dot{T} } \} = {}^{t} \{ \mathbf{ Q } \}$$ (12.6)

ここで、 $[ \mathbf{ C } ]$ は全体熱容量行列である。

$$[ \mathbf{ C } ] = \sum_{Ie} [ \mathbf{ C } ] ^{(Ie)}$$ (12.7)

行列 $[ \mathbf{ K } ]$ として、

$$[ \mathbf{ K } ] = [ \mathbf{ K^{cnd} } ] + [ \mathbf{ K^{cnv} } ]$$ (12.8)

$\{ \mathbf{ K^{cnd} } \}$ は全体熱伝導行列、

$$[ \mathbf{ K^{cnd} } ] = \sum_{Ie} [ \mathbf{ K^{cnd} } ] ^{(Ie)}$$ (12.9)

$\{ \mathbf{ K^{cnv} } \}$ は全体熱伝達行列である。

$$[ \mathbf{ K^{cnv} } ] = \sum_{Ie} \sum_{Ib} [ \mathbf{ K^{cnv} } ] ^{(Ie Ib)}$$ (12.10)

全体熱流束項ベクトル ${}^{t} \{ \mathbf{ Q } \}$ として、

$${}^{t} \{ \mathbf{ Q } \} = {}^{t} \{ \mathbf{ Q^{body} } \} + {}... ...ist} } \} + {}^{t} \{ \mathbf{ Q^{cnv} } \} + {}^{t} \{ \mathbf{ Q^{point} } \}$$ (12.11)

${}^{t} \{ \mathbf{ Q^{body} } \}$ は全体発熱項ベクトル、

$${}^{t} \{ \mathbf{ Q^{body} } \} = \sum_{Ie} {}^{t} \{ \mathbf{ Q^{body} } \} ^{(Ie)}$$ (12.12)

${}^{t} \{ \mathbf{ Q^{dist} } \}$ は全体分布熱流束項ベクトル、

$${}^{t} \{ \mathbf{ Q^{dist} } \} = \sum_{Ie} \sum_{Ib} {}^{t} \{ \mathbf{ Q^{dist} } \} ^{(Ie Ib)}$$ (12.13)

${}^{t} \{ \mathbf{ Q^{cnv} } \}$ は全体熱伝達項ベクトル、

$${}^{t} \{ \mathbf{ Q^{cnv} } \} = \sum_{Ie} \sum_{Ib} {}^{t} \{ \mathbf{ Q^{cnv} } \} ^{(Ie Ib)}$$ (12.14)

${}^{t} \{ \mathbf{ Q^{point} } \}$ は全体集中熱流束項ベクトルである。

一方、 静的問題では、

$$[ \mathbf{ K } ] \{ \mathbf{ T } \} = \{ \mathbf{ Q } \}$$ (12.15)

ここで、 熱流束項 $\{ \mathbf{ Q } \}$ は定数となり、時間に依存しなくなる。