解説

線形の熱伝導問題の重みつき残差表現は、 （式 10.8 参照）

$$\int_V \frac{ \partial T^* }{ \partial \{ X \} } \cdot ( [ \lambd... ...artial \{ X \} } ) \mathrm{d} V + \int_V T^* \rho c {}^{t} \dot{T} \mathrm{d} V$$

$$= \int_V T^* {}^{t} q^{body} \mathrm{d} V + \int_{S^{dist}} T^* {}^{t} q^{dist} \mathrm{d} S$$

$$+ \int_{S^{cnv}} T^* h ( {}^{t} T - {}^{t} T^{env} ) \mathrm{d} S$$ (12.16)

ここで、 左辺第１項は熱伝導項、 左辺第２項は熱容量項、 右辺第１項は内部発熱項、 右辺第２項は熱流束項（分布熱流束、および集中熱流束）、 右辺第３項は熱伝達項である。

これに上記の未知数の有限要素補間式を代入すると、 （各項については、以下の各節で具体例に説明する。）

$$\sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Jn} T^*_{(In)} {}^{t} T_{(Jn)} {K^{cnd}}_{(In) (Jn)}^{(Ie)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Ib} \sum_{In} \sum_{Jn} T^*_{(In)} {}^{t} T_{(Jn)} {K^{cnv}}_{(In) (Jn)}^{(Ie Ib)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Jn} T^*_{(In)} {}^{t} \dot{T}_{(Jn)} C_{(In) (Jn)}^{(Ie)}$$

$$= \sum_{Ie} \sum_{In} T^*_{(In)} {}^{t} {Q^{body}}_{(In)}^{(Ie)} + \sum_{Ie} \sum_{Ib} \sum_{In} T^*_{(In)} {}^{t} {Q^{dist}}_{(In)}^{(Ie Ib)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Ib} \sum_{In} T^*_{(In)} {}^{t} {Q^{cnv}}_{(In)}^{(Ie Ib)} + \sum_{In} T^*_{(In)} {}^{t} {Q^{point}}_{(In)}$$ (12.17)

ここで、 要素 $Ie$ について、

${K^{cnd}}_{(In) (Jn)}^{(Ie)}$ は 要素熱伝導行列 $[ \mathbf{ K^{cnd} } ] ^{(Ie)}$ の 節点 $In$ 節点 $Jn$ に関する成分である。

$C_{(In) (Jn)}^{(Ie)}$ は 要素熱容量行列 $[ \mathbf{ C } ] ^{(Ie)}$ の 節点 $In$ 節点 $Jn$ に関する成分である。

${}^{t} {Q^{body}}_{(In)}^{(Ie)}$ は 要素内部発熱項ベクトル ${}^{t} \{ \mathbf{ Q^{body} } \} ^{(Ie)}$ の 節点 $In$ に関する成分である。

要素 $Ie$ の境界 $Ib$ について、

${K^{cnv}}_{(In) (Jn)}^{(Ie Ib)}$ は 要素熱伝達行列 $[ \mathbf{ K^{cnv} } ] ^{(Ie Ib)}$ の 節点 $In$ 節点 $Jn$ に関する成分である。

${}^{t} {Q^{dist}}_{(In)}^{(Ie)}$ は 要素分布熱流束項ベクトル ${}^{t} \{ \mathbf{ Q^{dist} } \} ^{(Ie Ib)}$ の 節点 $In$ に関する成分である。

${}^{t} {Q^{cnv}}_{(In)}^{(Ie)}$ は 要素熱伝達項ベクトル ${}^{t} \{ \mathbf{ Q^{cnv} } \} ^{(Ie Ib)}$ の 節点 $In$ に関する成分である。

節点 $In$ について、

${}^{t} {Q^{point}}_{(In)}$ は 全体集中熱流束項ベクトル ${}^{t} \{ \mathbf{ Q^{point} } \}$ の 節点 $In$ に関する成分である。

この式は、任意の温度の重み関数 $T^*_{(In)}$ について 成り立たねばならないから、すべての自由度 $(In)$ について、

$$\sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Jn} {}^{t} T_{(Jn)} {K^{cnd}}_{(In) (Jn)}^{(Ie)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Ib} \sum_{In} \sum_{Jn} {}^{t} T_{(Jn)} {K^{cnv}}_{(In) (Jn)}^{(Ie Ib)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Jn} {}^{t} \dot{T}_{(Jn)} C_{(In) (Jn)}^{(Ie)}$$

$$= \sum_{Ie} \sum_{In} {}^{t} {Q^{body}}_{(In)}^{(Ie)} + \sum_{Ie} \sum_{Ib} \sum_{In} {}^{t} {Q^{dist}}_{(In)}^{(Ie Ib)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Ib} \sum_{In} {}^{t} {Q^{cnv}}_{(In)}^{(Ie Ib)} + \sum_{In} {}^{t} {Q^{point}}_{(In)}$$ (12.18)

すなわち、

$$\sum_{Ie} [ \mathbf{ K^{cnd} } ] ^{(Ie)} {}^{t} \{ \mathbf{ T } \... ...bf{ T } \} + \sum_{Ie} [ \mathbf{ C } ] ^{(Ie)} {}^{t} \{ \mathbf{ \dot{T} } \}$$

$$= \sum_{Ie} {}^{t} \{ \mathbf{ Q^{body} } \} ^{(Ie)} + \sum_{Ie} \sum_{Ib} {}^{t} \{ \mathbf{ Q^{dist} } \} ^{(Ie Ib)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Ib} {}^{t} \{ \mathbf{ Q^{cnv} } \} ^{(Ie Ib)} + {}^{t} \{ \mathbf{ Q^{point} } \}$$ (12.19)

ここで、 ${}^{t} \{ \mathbf{ T } \}$ 、 ${}^{t} \{ \mathbf{ \dot{T} } \}$ はそれぞれ、 システム全体での温度とその変化速度の列ベクトルである。

そして、最終的に上記の有限要素離散化式が得られる。