領域積分

要素 $Ie$ において、 関数 ${}^{t} f$ を単位面積当りの量を表すものとする。

$${}^{t} f = f ( \! ( L0, L1, L2 ) \! )$$ (1.23)

その領域積分は、以下のように表される。

$$\int_{S^{(Ie)}} {}^{t} f \mathrm{d} S$$ (1.24)

この具体的な表現は、各要素タイプによってそれぞれ定義される。

もし、 関数 ${}^{t} f$ が面積座標 $L0, L1, L2$ の多項式で表現されるならば、 その領域積分は、以下の面積座標公式によって求めることが出来る。

$$\int_{S^{(Ie)}} (L0)^p (L1)^q (L2)^r \mathrm{d} S = 2 S \frac{p! q! r!}{(p + q + r + 2)!}$$ (1.25)

ここで、 $p, q, r$は0または正の整数である。

例えば、以下が成り立つ。

$$\int_{S^{(Ie)}} L0 \mathrm{d} S = 1/3 S$$

$$\int_{S^{(Ie)}} (L0)^2 \mathrm{d} S = 1/6 S = 2/12 S$$

$$\int_{S^{(Ie)}} L0 L1 \mathrm{d} S = 1/12 S$$

$$\int_{S^{(Ie)}} (L0)^3 \mathrm{d} S = 1/10 S = 6/60 S$$

$$\int_{S^{(Ie)}} (L0)^2 L1 \mathrm{d} S = 1/30 S = 2/60 S$$

$$\int_{S^{(Ie)}} L0 L1 L2 \mathrm{d} S = 1/60 S$$

$$\int_{S^{(Ie)}} (L0)^4 \mathrm{d} S = 1/15 S = 12/180 S$$

$$\int_{S^{(Ie)}} (L0)^3 L1 \mathrm{d} S = 1/60 S = 3/180 S$$

$$\int_{S^{(Ie)}} (L0)^2 (L1)^2 \mathrm{d} S = 1/90 S = 2/180 S$$

$$\int_{S^{(Ie)}} (L0)^2 L1 L2 \mathrm{d} S = 1/180 S$$ (1.26)