稜線上の積分

要素 $Ie$ 境界稜線 $Iedge$ において、 関数 ${}^{t} f$ を、 長さ当たりの量を表すものとする。

$${}^{t} f = f ( \! ( L0, L1, L2 ) \! )$$ (1.27)

その稜線上での境界積分は、以下のように表される。

$$\int_{l^{(Iedge)}} {}^{t} f \mathrm{d} l$$ (1.28)

この具体的な表現は、各要素タイプによってそれぞれ定義される。

もし、 関数 ${}^{t} f$ が面積座標 $L0, L1, L2$ の多項式で表現されるならば、 その稜線上での境界積分は、 以下の面積座標公式によって求めることが出来る。

稜線 $Iedge = 0$の場合、 $L0 = 0$ であるから、 関数 ${}^{t} f$ は残りの $L1$ と $L2$ を用いて表現され、

$$\int_{l^{(Iedge)}} (L1)^p (L2)^q \mathrm{d} l = l \frac{p! q!}{(p + q + 1)!}$$ (1.29)

ここで、 $l$ は稜線の長さ、 $p, q$は0または正の整数である。

稜線 $Iedge = 1$の場合、 $L1 = 0$ であるから、 関数 ${}^{t} f$ は残りの $L2$ と $L0$ を用いて表現され、

$$\int_{l^{(Iedge)}} (L2)^p (L0)^q \mathrm{d} l = l \frac{p! q!}{(p + q + 1)!}$$ (1.30)

稜線 $Iedge = 2$の場合、 $L2 = 0$ であるから、 関数 ${}^{t} f$ は残りの $L0$ と $L1$ を用いて表現され、

$$\int_{l^{(Iedge)}} (L0)^p (L1)^q \mathrm{d} l = l \frac{p! q!}{(p + q + 1)!}$$ (1.31)

例えば、以下が成り立つ。

$$\int_{l^{(Iedge)}} L0 \mathrm{d} l = 1/2 l$$

$$\int_{l^{(Iedge)}} (L0)^2 \mathrm{d} l = 1/3 l = 2/6 l$$

$$\int_{l^{(Iedge)}} L0 L1 \mathrm{d} l = 1/6 l$$

$$\int_{l^{(Iedge)}} (L0)^3 \mathrm{d} l = 1/4 l = 3/12 l$$

$$\int_{l^{(Iedge)}} (L0)^2 L1 \mathrm{d} l = 1/12 l$$ (1.32)