位置の自然座標に関する勾配 $\frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \{ \xi \} }$

位置の自然座標に関する勾配、すなわちJacobian $\frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \{ \xi \} }$ は、

$$\frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \{ \xi \} } = \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \{ \xi \} } ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$

$$= \sum_{In} \{ x \} _{(In)} \otimes \frac{ \partial N }{ \partial \xi } _{(In)} \{ e \} _x$$

$$+ \sum_{In} \{ V^y \} _{(In)} \frac{ a^y }{ 2 } \otimes ( \eta \frac{ \partial N }{ \partial \xi } _{(In)} \{ e \} _x + N_{(In)} \{ e \} _y )$$

$$+ \sum_{In} \{ V^z \} _{(In)} \frac{ a^z }{ 2 } \otimes ( \zeta \frac{ \partial N }{ \partial \xi } _{(In)} \{ e \} _x + N_{(In)} \{ e \} _z )$$ (5.31)