領域積分

要素 $Ie$ における 関数 ${}^{t} f$ について、

$${}^{t} f = f ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$ (5.32)

その領域積分は、

$$\int_{V_{(Ie)}} {}^{t} f \mathrm{d} V$$

$$= \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 {}^{t} f J^V \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta \mathrm{d} \zeta$$

$$= \sum_{(Ip^\xi)} \sum_{(Ip^\eta)} \sum_{(Ip^\zeta)} w_{(Ip^\xi)} w... ...\eta Ip^\zeta)} ) \! ) J^V ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip^\xi Ip^\eta Ip^\zeta)} ) \! )$$

ここで、 体積積分の変換子 ${}^{t} J^V$ は、Jacobianのdeterminantとなり、

$$J^V = J^V ( \! ( \{ \xi \} ) \! ) = \mathrm{det} \; \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \{ \xi \} }$$ (5.33)

$\{ \xi \} _{(Ip^\xi Ip^\eta Ip^\zeta)}$ は、 各次元方向の積分点 $Ip^\xi, Ip^\eta, Ip^\zeta$ の自然座標であり、

$$\{ \xi \} _{(Ip^\xi Ip^\eta Ip^\zeta)} = { \left \langle \begin{a... ...)} & \eta_{(Ip^\eta)} & \zeta_{(Ip^\zeta)} \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$ (5.34)

$\xi_{(Ip^\xi)}$ は一次元の$\xi$座標における積分点座標、 $\eta_{(Ip^\eta)}$ は一次元の$\eta$座標における積分点座標、 $\zeta_{(Ip^\zeta)}$ は一次元の$\zeta$座標における積分点座標である。

一般に、 長さ軸方向 $\xi$ にはガウス積分、 断面の各軸方向 $\eta, \zeta$ にはニュートンコーツ積分を行う。

また、 $w_{(Ip^\xi)}, w_{(Ip^\eta)}, w_{(Ip^\zeta)}$ は、 各次元方向の積分点 $Ip^\xi, Ip^\eta, Ip^\zeta$ の重み係数である。

各方向の数値積分の座標と重みについては、 $\xi$ 方向には、「数値積分」「ガウス積分」「一次元」を参照。 $\eta, \zeta$ 方向には、「数値積分」「ニュートンコーツ積分」を参照。