長さ方向軸線上の積分：単位長さ当り

要素 $Ie$ において、 関数 ${}^{t} f$ を 単位長さ当りの量を表すものとする。

$${}^{t} f = f ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$ (5.35)

要素の長さ方向軸線に沿った積分は、以下のように表される。

$$\int_{l_{(Ie)}} {}^{t} f \mathrm{d} l$$

$$= \int_{-1}^1 {}^{t} f {}^{t} J^l \mathrm{d} \xi$$

$$= \sum_{(Ip^\xi)} w_{(Ip^\xi)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip^\xi)} ) \! ) J^l ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip^\xi)} ) \! )$$ (5.36)

ここで、 体積積分の変換子 $J^l$ は、

$$J^l = J^l ( \! ( \{ \xi \} ) \! ) = \left\vert \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \xi } \right\vert$$ (5.37)

$\{ \xi \} _{(Ip^\xi)}$ は、 $\xi$ 方向の積分点 $Ip^\xi$ の自然座標であり、

$$\{ \xi \} _{(Ip^\xi Ip^\eta Ip^\zeta)} = { \left \langle \begin{array}{ccc} \xi_{(Ip^\xi)} & 0 & 0 \end{array} \right \rangle } ^ { T }$$ (5.38)

$\xi_{(Ip^\xi)}$ は一次元の$\xi$座標における積分点座標である。

また、 $w_{(Ip^\xi)}$ は、$\xi$ 方向の積分点 $Ip^\xi$ の重み係数である。

数値積分の座標と重みについては、 「数値積分」「ガウス積分」「一次元」を参照。