中央面上の積分：法線方向指定の単位面積当りベクトル量

要素 $Ie$ において、 関数 ${}^{t} f$ を 単位面積当りのベクトル量の法線成分を表すスカラー関数であるとする。

$${}^{t} f = f ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$ (5.53)

また、 面の法線方向の単位ベクトル $\{ n \}$ は、

$$\{ n \} = \{ n \} ( \! ( \{ \xi \} ) \! ) = \frac{ \frac{ \partia... ... \partial \xi } \times \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \eta } \right\vert }$$ (5.54)

したがって、 要素の中央面上の積分は、以下のように表される。

$$\int_{S_{(Ie)}} {}^{t} f \mathrm{d} S$$

$$= \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 {}^{t} f \{ J^S \} \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta$$

$$= \sum_{(Ip)} w_{(Ip)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! ) \{ J^S \} ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! )$$

ここで、 境界積分の変換子 $\{ J^S \}$ は、

$$\{ J^S \} = \{ J^S \} ( \! ( \{ \xi \} ) \! ) = \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \xi } \times \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \eta }$$ (5.55)

各方向の数値積分の座標と重みについては、 前パラグラフを参照。