中央面上の積分：単位面積当り

要素 $Ie$ において、 関数 ${}^{t} f$ を 単位面積当りの量を表すものとする。

$${}^{t} f = f ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$ (5.51)

また、この値は自然座標の $\xi, \eta$ にのみ依存する、すなわち、 面内方向にのみ変化するとする。

要素の中央面上の積分は、以下のように表される。

$$\int_{S_{(Ie)}} {}^{t} f \mathrm{d} S$$

$$= \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 {}^{t} f J^S \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta$$

$$= \sum_{(Ip)} w_{(Ip)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! ) J^S ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! )$$

ここで、 境界積分の変換子 ${}^{t} J^S$ は、

$$J^S = J^S ( \! ( \{ \xi \} ) \! ) = \left\vert \frac{ \partial \{... ...}{ \partial \xi } \times \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \eta } \right\vert$$ (5.52)

$\{ \xi \} _{(Ip)}$ は、 中央面$\zeta = 0$ 上の四辺形の積分点 $Ip$ の自然座標である。 面内方向 $\xi, \eta$ には四辺形の積分点 $Ip$ の自然座標、 厚み方向については、 $\zeta = 0$ となる。

また、 $w_{(Ip)}$ は、四辺形の積分点 $Ip$ の重み係数である。

各方向の数値積分の座標と重みについては、 「数値積分」「ガウス積分」「四辺形」を参照。