表面上の積分

要素 $Ie$ 境界表面 $Iface$ における 関数 ${}^{t} f$ について、

$${}^{t} f = f ( \! ( \{ \xi \} ) \! )$$ (5.71)

その積分は、 $\xi = \pm 1, \eta = \pm 1, \zeta = \pm 1$ の表面についてそれぞれ 以下のように定義される。

$\xi = \pm 1$ の表面の場合、

$$\int_{S_{(Iface)}} {}^{t} f \mathrm{d} S$$

$$= \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 {}^{t} f J^S \mathrm{d} \eta \mathrm{d} \zeta$$

$$= \sum_{Ip} w_{(Ip)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! ) J^S ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! )$$

ここで、 表面積分の変換子 $J^S$ は、

$$J^S = J^S ( \! ( \{ \xi \} ) \! ) = \left\vert \frac{ \partial \{... ... \partial \eta } \times \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \zeta } \right\vert$$ (5.72)

$\{ \xi \} _{(Ip)}$ は、 表面 $\xi = \pm 1$ 上に存在する 四辺形の積分点 $Ip$ の自然座標、 $w_{(Ip)}$ は、その重み係数である。

各方向の数値積分の座標と重みについては、 「数値積分」「ガウス積分」「四辺形」を参照。

$\eta = \pm 1$ の表面の場合、

$$\int_{S_{(Iface)}} {}^{t} f \mathrm{d} S$$

$$= \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 {}^{t} f J^S \mathrm{d} \zeta \mathrm{d} \xi$$

$$= \sum_{Ip} w_{(Ip)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! ) J^S ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! )$$

ここで、 表面積分の変換子 $J^S$ は、

$$J^S = J^S ( \! ( \{ \xi \} ) \! ) = \left\vert \frac{ \partial \{... ...{ \partial \zeta } \times \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \xi } \right\vert$$ (5.73)

$\{ \xi \} _{(Ip)}$ は、 表面 $\eta = \pm 1$ 上に存在する 四辺形の積分点 $Ip$ の自然座標、 $w_{(Ip)}$ は、その重み係数である。

各方向の数値積分の座標と重みについては、 「数値積分」「ガウス積分」「四辺形」を参照。

$\zeta = \pm 1$ の表面の場合、

$$\int_{S_{(Iface)}} {}^{t} f \mathrm{d} S$$

$$= \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 {}^{t} f J^S \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta$$

$$= \sum_{Ip} w_{(Ip)} f ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! ) J^S ( \! ( \{ \xi \} _{(Ip)} ) \! )$$

ここで、 表面積分の変換子 $J^S$ は、

$$J^S = J^S ( \! ( \{ \xi \} ) \! ) = \left\vert \frac{ \partial \{... ...}{ \partial \xi } \times \frac{ \partial \{ x \} }{ \partial \eta } \right\vert$$ (5.74)

$\{ \xi \} _{(Ip)}$ は、 表面 $\zeta = \pm 1$ 上に存在する 四辺形の積分点 $Ip$ の自然座標、 $w_{(Ip)}$ は、その重み係数である。

各方向の数値積分の座標と重みについては、 「数値積分」「ガウス積分」「四辺形」を参照。