領域積分

要素 $Ie$ において、 関数 ${}^{t} f$ を単位体積当りの量を表すものとする。

$${}^{t} f = f ( \! ( L0, L1, L2, L3 ) \! )$$ (1.67)

その領域積分は、以下のように表される。

$$\int_{V^{(Ie)}} {}^{t} f \mathrm{d} V$$ (1.68)

この具体的な表現は、各要素タイプによってそれぞれ定義される。

もし、 関数 ${}^{t} f$ が体積座標 $L0, L1, L2, L3$ の多項式で表現されるならば、 その領域積分は、以下の体積座標公式によって求めることが出来る。

$$\int_{V^{(Ie)}} (L0)^p (L1)^q (L2)^r (L3)^s \mathrm{d} V = 6 V \frac{p! q! r! s!}{(p + q + r + s + 3)!}$$ (1.69)

ここで、 $p, q, r, s$は0または正の整数である。

例えば、以下が成り立つ。

$$\int_{V^{(Ie)}} L0 \mathrm{d} V = 1/4 V$$

$$\int_{V^{(Ie)}} (L0)^2 \mathrm{d} V = 1/10 V = 2/20 V$$

$$\int_{V^{(Ie)}} L0 L1 \mathrm{d} V = 1/20 V$$

$$\int_{V^{(Ie)}} (L0)^3 \mathrm{d} V = 1/20 V = 6/120 V$$

$$\int_{V^{(Ie)}} (L0)^2 L1 \mathrm{d} V = 1/60 V = 2/120 V$$

$$\int_{V^{(Ie)}} L0 L1 L2 \mathrm{d} V = 1/120 V$$

$$\int_{V^{(Ie)}} (L0)^4 \mathrm{d} V = 1/35 V = 24/840 V$$

$$\int_{V^{(Ie)}} (L0)^3 L1 \mathrm{d} V = 1/140 V = 6/840 V$$

$$\int_{V^{(Ie)}} (L0)^2 (L1)^2 \mathrm{d} V = 1/210 V = 4/840 V$$

$$\int_{V^{(Ie)}} (L0)^2 L1 L2 \mathrm{d} V = 1/420 V = 2/840 V$$

$$\int_{V^{(Ie)}} L0 L1 L2 L3 \mathrm{d} V = 1/840 V$$ (1.70)