表面上の積分

要素 $Ie$ 境界表面 $Iface$ において、 関数 ${}^{t} f$ を、 面積当たりの量を表すものとする。

$${}^{t} f = f ( \! ( L0, L1, L2, L3 ) \! )$$ (1.71)

その表面上での境界積分は、以下のように表される。

$$\int_{S^{(Iface)}} {}^{t} f \mathrm{d} S$$ (1.72)

この具体的な表現は、各要素タイプによってそれぞれ定義される。

もし、 関数 ${}^{t} f$ が体積座標 $L0, L1, L2, L3$ の多項式で表現されるならば、 その表面上での境界積分は、 以下の体積座標公式によって求めることが出来る。

表面 $Iface = 0$の場合、 $L0 = 0$ であるから、 関数 ${}^{t} f$ は残りの $L1$ 、$L2$ 、$L3$ を用いて表現され、

$$\int_{S^{(Iface)}} (L1)^p (L2)^q (L3)^r \mathrm{d} S = 2 S \frac{p! q! r!}{(p + q + r + 2)!}$$ (1.73)

ここで、 $S$ は表面の面積、 $p, q, r$は0または正の整数である。

表面 $Iface = 1$の場合、 $L1 = 0$ であるから、 関数 ${}^{t} f$ は残りの $L2$ 、$L3$ 、$L0$ を用いて表現され、

$$\int_{S^{(Iface)}} (L2)^p (L3)^q (L0)^r \mathrm{d} S = 2 S \frac{p! q! r!}{(p + q + r + 2)!}$$ (1.74)

表面 $Iface = 2$の場合、 $L2 = 0$ であるから、 関数 ${}^{t} f$ は残りの $L3$ 、$L0$ 、$L1$ を用いて表現され、

$$\int_{S^{(Iface)}} (L3)^p (L0)^q (L1)^r \mathrm{d} S = 2 S \frac{p! q! r!}{(p + q + r + 2)!}$$ (1.75)

表面 $Iface = 3$の場合、 $L3 = 0$ であるから、 関数 ${}^{t} f$ は残りの $L0$ 、$L1$ 、$L2$ を用いて表現され、

$$\int_{S^{(Iface)}} (L0)^p (L1)^q (L2)^r \mathrm{d} S = 2 S \frac{p! q! r!}{(p + q + r + 2)!}$$ (1.76)