解説

線形の熱伝導問題の重みつき残差表現は、 「熱伝導」「熱伝導境界値問題：線形」「重み付き残差表現」より、 式 1.17 となる。 これに上記の未知数の有限要素補間式を代入すると、 （各項については、以下の各節で具体例に説明する。）

$$\sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Jn} T^*_{(In)} {}^{t} T_{(Jn)} {K^{cnd}}_{(In) (Jn)}^{(Ie)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Ib} \sum_{In} \sum_{Jn} T^*_{(In)} {}^{t} T_{(Jn)} {K^{cnv}}_{(In) (Jn)}^{(Ie Ib)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Jn} T^*_{(In)} {}^{t} \dot{T}_{(Jn)} C_{(In) (Jn)}^{(Ie)}$$

$$= \sum_{Ie} \sum_{In} T^*_{(In)} {}^{t} {Q^{body}}_{(In)}^{(Ie)}$$

$$- \sum_{Ie} \sum_{Ib} \sum_{In} T^*_{(In)} {}^{t} {Q^{dist}}_{(In)}^{(Ie Ib)} - \sum_{In} T^*_{(In)} {}^{t} {Q^{point}}_{(In)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Ib} \sum_{In} T^*_{(In)} {}^{t} {Q^{cnv}}_{(In)}^{(Ie Ib)}$$ (3.16)

ここで、 要素 $Ie$ について、

${K^{cnd}}_{(In) (Jn)}^{(Ie)}$ は 要素熱伝導行列 $[ \mathbf{ K^{cnd} } ] ^{(Ie)}$ の 節点 $In$ 節点 $Jn$ に関する成分である。

$C_{(In) (Jn)}^{(Ie)}$ は 要素熱容量行列 $[ \mathbf{ C } ] ^{(Ie)}$ の 節点 $In$ 節点 $Jn$ に関する成分である。

${}^{t} {Q^{body}}_{(In)}^{(Ie)}$ は 要素内部発熱項ベクトル ${}^{t} \{ \mathbf{ Q^{body} } \} ^{(Ie)}$ の 節点 $In$ に関する成分である。

要素 $Ie$ の境界 $Ib$ について、

${K^{cnv}}_{(In) (Jn)}^{(Ie Ib)}$ は 要素熱伝達行列 $[ \mathbf{ K^{cnv} } ] ^{(Ie Ib)}$ の 節点 $In$ 節点 $Jn$ に関する成分である。

${}^{t} {Q^{dist}}_{(In)}^{(Ie Ib)}$ は 要素分布熱流束項ベクトル ${}^{t} \{ \mathbf{ Q^{dist} } \} ^{(Ie Ib)}$ の 節点 $In$ に関する成分である。

${}^{t} {Q^{cnv}}_{(In)}^{(Ie Ib)}$ は 要素熱伝達項ベクトル ${}^{t} \{ \mathbf{ Q^{cnv} } \} ^{(Ie Ib)}$ の 節点 $In$ に関する成分である。

節点 $In$ について、

${}^{t} {Q^{point}}_{(In)}$ は 全体集中熱流束項ベクトル ${}^{t} \{ \mathbf{ Q^{point} } \}$ の 節点 $In$ に関する成分である。

この式は、任意の温度の重み関数 $T^*_{(In)}$ について 成り立たねばならないから、すべての自由度 $(In)$ について、

$$\sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Jn} {}^{t} T_{(Jn)} {K^{cnd}}_{(In) (Jn)}^{(Ie)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Ib} \sum_{In} \sum_{Jn} {}^{t} T_{(Jn)} {K^{cnv}}_{(In) (Jn)}^{(Ie Ib)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{In} \sum_{Jn} {}^{t} \dot{T}_{(Jn)} C_{(In) (Jn)}^{(Ie)}$$

$$= \sum_{Ie} \sum_{In} {}^{t} {Q^{body}}_{(In)}^{(Ie)}$$

$$- \sum_{Ie} \sum_{Ib} \sum_{In} {}^{t} {Q^{dist}}_{(In)}^{(Ie Ib)} - \sum_{In} {}^{t} {Q^{point}}_{(In)}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Ib} \sum_{In} {}^{t} {Q^{cnv}}_{(In)}^{(Ie Ib)}$$ (3.17)

すなわち、

$$\sum_{Ie} [ \mathbf{ K^{cnd} } ] ^{(Ie)} {}^{t} \{ \mathbf{ T } \... ...bf{ T } \} + \sum_{Ie} [ \mathbf{ C } ] ^{(Ie)} {}^{t} \{ \mathbf{ \dot{T} } \}$$

$$= \sum_{Ie} {}^{t} \{ \mathbf{ Q^{body} } \} ^{(Ie)}$$

$$- \sum_{Ie} \sum_{Ib} {}^{t} \{ \mathbf{ Q^{dist} } \} ^{(Ie Ib)} - {}^{t} \{ \mathbf{ Q^{point} } \}$$

$$+ \sum_{Ie} \sum_{Ib} {}^{t} \{ \mathbf{ Q^{cnv} } \} ^{(Ie Ib)}$$ (3.18)

ここで、 ${}^{t} \{ \mathbf{ T } \}$ 、 ${}^{t} \{ \mathbf{ \dot{T} } \}$ はそれぞれ、 システム全体での温度とその変化速度の列ベクトルである。

そして、最終的に上記の有限要素離散化式が得られる。