解説

時刻 $t = 0$ の基準配置における物質点 $\{ X \}$ を起点とする 任意の微小ベクトル $\mathrm{d} \{ X \}$ および $\mathrm{d} \{ X^* \}$ が、 変形後、時刻 $t$ の現配置において、 $\mathrm{d} {}^{t} \{ x \}$ 、 $\mathrm{d} {}^{t} \{ x^* \}$ になったとする。 これらの微小ベクトルの変形前後での内積の差は、 右Cauchy-Green変形テンソル ${}_{o}^{t} [ C ]$ と 左Cauchy-Green変形テンソル ${}_{o}^{t} [ B ]$ によって 以下のように表すことができる。

$$\mathrm{d} {}^{t} \{ x \} \cdot \mathrm{d} {}^{t} \{ x^* \} - \mathrm{d} \{ X \} \cdot \mathrm{d} \{ X^* \}$$

$$= \mathrm{d} \{ X \} \cdot ( {}_{o}^{t} [ C ] - [ I ] ) \cdot \mathrm{d} \{ X^* \}$$

$$= \mathrm{d} {}^{t} \{ x \} \cdot ( [ I ] - {}_{o}^{t} [ B ] ^{-1} ) \cdot \mathrm{d} {}^{t} \{ x^* \}$$ (6.50)

これらの量は、 もし $\mathrm{d} \{ X \} = \mathrm{d} \{ X^* \}$ ならば、長さの変化を表わし、 さもなくば、角度変化を表わすため、 歪みの尺度として用いることができる。 したがって、Green-Lagrange歪みテンソルとAlmansi歪みテンソルが 以下のように定義される。

$${}_{o}^{t} [ E ] = 1/2 ( {}_{o}^{t} [ C ] - [ I ] )$$ (6.51)

$${}^{t} [ A ] = 1/2 ( [ I ] - { {}_{o}^{t} [ B ] } ^ { -1 } )$$ (6.52)

Green-Lagrange歪みテンソルとAlmansi歪みテンソルとの関係は、

$${}_{o}^{t} [ E ] = { {}_{o}^{t} [ F ] } ^ { T } \cdot {}^{t} [ A ] \cdot {}_{o}^{t} [ F ]$$ (6.53)

$${}^{t} [ A ] = { {}_{o}^{t} [ F ] } ^ { -T } \cdot {}_{o}^{t} [ E ] \cdot { {}_{o}^{t} [ F ] } ^ { -1 }$$ (6.54)